最小曼哈顿距离生成树

Another Minimum Spanning Tree 题解

(~~~~) 题目名字这么长其实直接叫 最小曼哈顿距离生成树 就好了

(sf Description)

(~~~~) 给出 (n （1leq nleq 10^5）) 个平面直角坐标系内的点。点之间的距离为他们的曼哈顿距离。求其最小生成树。

(sf Hint)

(~~~~) 对于如图所示的 (A) 点，其在最小生成树里只会直接连接阴影区域内最多一个点。

(sf Solution)

(~~~~) 下文中，若对一条线段加 (||) ，则表示其曼哈顿距离。

(~~~~) 首先来证明上面的 (sf {Hint}) 及一个衍伸结论：(A) 点必定连向该区域内曼哈顿距离下距离它最近的点 ：

(~~~~) 不妨设 (A,B) 在相对点 (O) 的极角为 ([45,90]°) 的区域内，且 (|OA|<|OB|)，比如下图所示：

(~~~~) 设：(A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)) 。且由于其相对点 (O) 的极角范围可知：(x_0,x_1>0,y_0-x_0,y_1-x_1>0)，故 (|AO|=x_0+y_0,|BO|=x_1+y_1)。下面分情况来讨论：

1. 若 (A) 在 (B) 的右上方，则不可能有 (|OA|<|OB|) ；

2. 若 (A) 在 (B) 的右上方或上方，则 (|AB|=x_1-x_0+y_0-y_1) ，(|BO|-|AB|=x_0-y_0+2y_1) ，由于 (y_0>y_1>x_1>x_0>0) ，若 (|BO|<|AB|) 则 (x_0+2y_1<y_0)，故代入 (|AO|=x_0+y_0>2x_0+2y_1)，(|BO|=x_1+y_1<2y_1<2x_0+2y_1<|AO|) ，推得矛盾，故 (|BO|geq |AB|) ，则连接 (AO、AB) 的总代价必然 (geq) 连接 (AO、AB) 的总代价；

3. 若 (A) 在 (B) 的右下方或右方，则同 2 进行讨论；

4. 若 (A) 在 (B) 的左下方，则 (|OA|+|AB|=|OB|) ，同理连接 (AO、AB) 的总代价必然 连接 >(AO、AB) 的总代价。

(~~~~) 因此我们需要做的就是对每个点选择区域内距离最近的点连双向边。

(~~~~) 下面考虑一些细节，依然按照极角范围在 ([45,90]°) 考虑，若在 ([-90,45]°) 时可通过坐标变化到对应区域，其他区域可以由该点左边的点向其连边。

(~~~~) 首先，设当前考虑的点为 (A(x_0,y_0)) ，其中任意一个在对应区域内的点为 (B(x_1,y_1)) ，则：

• 显然有 (x_0<x_1,y_0<y_1) ；
• (AB) 连线的斜率必定大于等于一、三象限角平分线（即直线 (y=x) ），则 (dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}geq 1) ，化简可得 (y_1-x_1>y_0-x_0) （这里并不用舍去 (x_0=x_1)）；
• 求到 (|AB|=x_1-x_0+y_1-y_0) 最小，由于对于 (A) 来说 (x_0,y_0) 一定，故求 (x_1+y_1) 最小。

(~~~~)

(~~~~) 代码实现时，按横坐标排序从后往前考虑，用 BIT 维护满足第二条限制的最小的 (x+y) 即可。

(~~~~) 则建完图后得到一张 (n) 个点，(4n) 条边的图，直接跑任意最小生成树算法即可。

(~~~~) 简单提一下坐标变化：

• 若极角在 ([0,45]°) ，则与直线 (y=x) 对称；
• 若极角在 ([-45,0]°)，则与直线 (y=x) 对称后再与 (y) 轴对称；
• 若极角在 ([-90,-45]°)，则与 (y) 轴对称。

(sf Code)

查看代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
int ans,tot;
vector< pair<int,int> > G[100005];
struct node{
	int u,w;
	bool operator <(const node &x) const{return w>x.w;}
	node(){}
	node(int U,int W){u=U,w=W;}
};
priority_queue<node> Q;
bool vis[100005];
int n,m,dis[100005],Val[100005];
void prim(int s)
{
	memset(dis,127,sizeof(dis));
	ans=0,tot=0;
	while(!Q.empty()) Q.pop();
	Q.push(node(s,0));
	dis[s]=0;
	while(!Q.empty()&&tot<n)
	{
		int u=Q.top().u,w=Q.top().w;
		Q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		tot++;ans+=w;vis[u]=1;
		for(int i=0;i<G[u].size();i++)
		{
			int v=G[u][i].first,d=G[u][i].second;
			if(d<dis[v]) dis[v]=d,Q.push(node(v,dis[v]));
		}
	}
} 
inline int Abs(int x){return x>0?x:-x;}
struct Point{
	int x,y,id;
}P[100005];
struct BIT{
	int val,pos;
}Tr[100005];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,int val,int p)
{
	for(;x;x-=lowbit(x)) if(Tr[x].val>val) Tr[x].val=val,Tr[x].pos=p;
}
int query(int x)
{
	int Minn=1e9,ret=-233;
	for(;x<=n;x+=lowbit(x)) if(Tr[x].val<Minn) Minn=Tr[x].val,ret=Tr[x].pos;
	return ret; 
}
bool cmp(Point x,Point y){return x.x!=y.x?x.x<y.x:x.y<y.y;}
int GetDis(int i,int j)
{
	return Abs(P[i].x-P[j].x)+Abs(P[i].y-P[j].y);
}
int main() {
	int id=0;
	while(scanf("%d",&n)&&n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&P[i].x,&P[i].y),G[i].clear(),vis[i]=dis[i]=0,P[i].id=i;
		for(int Area=1;Area<=4;Area++)
		{
			if(Area==2) for(int i=1;i<=n;i++) swap(P[i].x,P[i].y);
			if(Area==3) for(int i=1;i<=n;i++) P[i].x*=-1;
			if(Area==4) for(int i=1;i<=n;i++) swap(P[i].x,P[i].y);
			sort(P+1,P+1+n,cmp);
			for(int i=1;i<=n;i++) Val[i]=P[i].y-P[i].x,Tr[i].val=1e9,Tr[i].pos=-233;
			sort(Val+1,Val+1+n);
			int cnt=unique(Val+1,Val+1+n)-Val-1;
			for(int i=n;i>=1;i--)
			{
				int p=lower_bound(Val+1,Val+1+cnt,P[i].y-P[i].x)-Val+1;
				int pos=query(p);
				if(pos!=-233) G[P[i].id].push_back(mp(P[pos].id,GetDis(i,pos))),G[P[pos].id].push_back(mp(P[i].id,GetDis(i,pos)));
				add(p,P[i].x+P[i].y,i);
			}
		}
		prim(1);
		printf("Case %d: Total Weight = %d
",++id,ans);	
	}
	return 0;
}