算法复习——二分图染色（洛谷1155）

题目：

Tom最近在研究一个有趣的排序问题。如图所示，通过2个栈S1和S2，Tom希望借助以下4种操作实现将输入序列升序排序。

操作a

如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S1

操作b

如果栈S1不为空，将S1栈顶元素弹出至输出序列

操作c

如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S2

操作d

如果栈S2不为空，将S2栈顶元素弹出至输出序列

如果一个1~n的排列P可以通过一系列操作使得输出序列为1，2，…，(n-1)，n，Tom就称P是一个“可双栈排序排列”。例如(1,3,2,4)就是一个“可双栈排序序列”，而(2,3,4,1)不是。下图描述了一个将(1,3,2,4)排序的操作序列：<a,c,c,b,a,d,d,b>

当然，这样的操作序列有可能有几个，对于上例(1,3,2,4)，<a,c,c,b,a,d,d,b>是另外一个可行的操作序列。Tom希望知道其中字典序最小的操作序列是什么。

输入输出格式

输入格式：

输入文件twostack.in的第一行是一个整数n。

第二行有n个用空格隔开的正整数，构成一个1~n的排列。

输出格式：

输出文件twostack.out共一行，如果输入的排列不是“可双栈排序排列”，输出数字0；否则输出字典序最小的操作序列，每两个操作之间用空格隔开，行尾没有空格。

输入输出样例

输入样例#1：

【输入样例1】
4
1 3 2 4
【输入样例2】
4
2 3 4 1
【输入样例3】
3
2 3 1

输出样例#1：

【输出样例1】
a b a a b b a b
【输出样例2】
0
【输出样例3】
a c a b b d

说明

30%的数据满足： n<=10

50%的数据满足： n<=50

100%的数据满足： n<=1000

题解：

首先这道题一来是比较难看出是二分图染色的·····

但想一想···这道题用策略模拟，不是数据结构题，也不是dp题，更别提数论题···那还能是什么呢···只有图论题了···

而且看到到双栈就可以考虑二分图染色了······通过两个点是否在同一栈的逻辑关系来建图（好牵强的理由，我反正想不出）····、

以下是洛谷官方题解：

1.首先考虑一个简单情况——单栈排序,显然有这样的一个事实：

a[i]和a[j] 不能压入同一个栈⇔存在一个k,使得i<j<k且a[k]<a[i]<a[j]

时间复杂度为O(n^3).对于n<=1000仍显吃力,对此可以用动态规划的思想,将上述复杂度降到O(n^2)。

状态:f[i]=min(a[i],a[i+1], ... ,a[n])

边界条件:f[n+1]=INF;

状态转移方程:f[i]=min(f[i+1],a[i]);

于是上述判断就转化为了f[j+1]<a[i] && a[i]<a[j]

2.扩展到双栈排序:

如果a[i]和a[j]不能在一个栈内，即连接一条i与j之间的无向边,接下来我们只需要判断这个图是否为二分图

由于题目中说编号的字典序要尽可能的小，那么就把编号小的尽可能放到stack1

判断二分图的方法可以采用黑白染色的方式，先从编号小的开始染,第一个顶点染成黑色,相邻的顶点染成不同的颜色,如果发现黑白冲突,那么说明这个图不是一个二分图,是不合法的,输出0.

(DFS或BFS染色均可)

3.染色后所有黑色的点进stack1,所有白色的点进stack2，最后模拟输出过程就可以了.

代码：

一定注意用stack结构在调用top函数前一定要判断栈是否为空，不然要报错······

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<stack>
using namespace std;
stack<int>sta1;
stack<int>sta2;
const int N=1005;
const int M=1000005;
int minn[N];
int n,num[N],color[N];
int fst[N],nxt[M*2],go[M*2],tot=0;
inline void comb(int a,int b)
{
  nxt[++tot]=fst[a],fst[a]=tot,go[tot]=b;
}
inline void dfs(int u,int fa)
{
  for(int e=fst[u];e;e=nxt[e])
  {
    int v=go[e];
    if(v==fa)  continue;
    if(!color[v])
    {
      color[v]=(color[u]==1?2:1);
      dfs(v,u);
    }
    else
    {
      if(color[u]==color[v])  
      {
        cout<<"0"<<endl;
        exit(0);
      }
    }
  }
}
int main()
{
  //freopen("a.in","r",stdin);
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&num[i]);
  minn[n]=num[n];
  for(int i=n-1;i>=1;i--)
    minn[i]=min(num[i],minn[i+1]);
  for(int i=1;i<n-1;i++)
    for(int j=i+1;j<n;j++)
      if(num[i]<num[j]&&minn[j+1]<num[i])
        comb(i,j),comb(j,i);
  for(int i=1;i<=n;i++)        
    if(!color[i])
    {
      color[i]=1;
      dfs(i,0);
    }
  int cnt=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    if(color[i]==1)
    {  
      sta1.push(num[i]);
      cout<<"a"<<" ";
    }
    else
    {  
      sta2.push(num[i]);
      cout<<"c"<<" ";
    }
    while((!sta1.empty()&&sta1.top()==cnt)||(!sta2.empty()&&sta2.top()==cnt))
    {
      if(!sta1.empty()&&sta1.top()==cnt)
      {
        sta1.pop();
        cout<<"b"<<" ";
      }
      else
      {
        sta2.pop();
        cout<<"d"<<" ";
      }
      cnt++;
    }
  }
  return 0;
}