百练2757:最长上升子序列

题目要求

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描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。
这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。
第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

来源

翻译自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比赛试题

解题思路

1.找子问题
“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个子问题，但是这样分解子问题，不具有“无后效性”：假设F（n）=x，但可能有多个序列满足F（n）=x。有的序列的最后一个元素比a_n+1小，则加上a_n+1就能形成更长上升子序列；有的序列最后一个元素不比a_n+1小……以后的事情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性”。

“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的。

2.确定状态
子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以a_k做为“终点”的最长上升子序列的长度状态一共有N。

3.找出状态转移方程
maxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：
初始状态：maxLen (1) = 1 。
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1。
maxLen(k)的值，就是在a_k左边，“终点”数值小于a_k ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为a_k左边任何“终点”小于a_k的子序列，加上a_k后就能形成一个更长的上升子序。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN =1010;
int a[MAXN]; int maxLen[MAXN];
int main()
{
    int N; cin >> N;
	for( int i = 1;i <= N;++i)
	{
 	    cin >> a[i]; maxLen[i] = 1;
	}
	for( int i = 2; i <= N; ++i)
	{//每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
 	    for( int j = 1; j < i; ++j)
 		//察看以第j个数为终点的最长上升子序列
		if( a[i] > a[j] )
			maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1);
	}
	cout << * max_element(maxLen+1,maxLen + N + 1 );
	return 0;
} //时间复杂度O(N^2)