[ZJOI2015]地震后的幻想乡

LINK：洛谷

题目大意：

现在有一个$n$个点，$m$条边的无向图，每条边的边权是一个$[0,1]$的随机实数，求最小生成树的最大权值$X$的期望。

 $n\leq 10,m\leq \frac{n*(n-1)}{2}$

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这道题有非常多的做法，其中我写一个数学味道最浓的做法。

设$p(t)=P'(t),P(t)=Pr(X\geq t)$，显然$p(t)$表示$X=t$的概率。

则答案就是$$\int_{0}^1p(x)xdx=\int_{0}^1p(x)\int_{0}^xdtdx$$

$$=\int_{0}^1\int_{t}^{1}p(x)dxdt$$

$$=\int_{0}^1P(t)dt$$

现在我们考虑如何求它。

我们考虑对子集dp。

但是在不连通的情况下，有很多个集合，我们要选取哪一个呢？

其实都是可以的，因为联通之后只有一个集合，所以我们钦定一个点1，设$S$为在$t$时刻时与1联通的所有点。

设$P_S(t)$为点集$S$对应的$P(t)$。

我们需要$X\geq t$,所以这个图在$t$时刻不连通，设$t$时刻与$1$联通的有$S0$这些点，则$S0$联通且$S0$与$S-S0$之间的所有边的权值$>t$

我们用$T(S1,S2)$表示$S1$和$S2$之间的边的数量。

$$P_S(t)=\sum_{1\in S_0\subset S}(1-t)^{T(S_0,S-S_0)}(1-P_{S_0}(t))$$

所以

$$\int_{0}^1P_S(t)(1-t)^kdt=\sum_{1\in S_0\subset S}\int_{0}^1(1-t)^{T(S_0,S-S_0)+k}(1-P_{S_0}(t))dt$$

$$=\sum_{1\in S_0\subset S}(\int_0^1(1-t)^{T(S_0,S-S_0)+k}dt-\int_0^1(1-t)^{T(S_0,S-S_0)+k}P_{S_0}(t)dt)$$

$$=\sum_{1\in S_0\subset S}(\frac{1}{1+k+T(S_0,S-S_0)}-\int_0^1(1-t)^{T(S_0,S-S_0)+k}P_{S_0}(t)dt)$$

然后我们就可以开始dp了

设$dp[S][k]$表示$\int_{0}^1P_S(t)(1-t)^kdt$

然后代码出奇的短。

复杂度$O(3^n*m)$，但是这是一个较松的上界。

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
int n, m, link[1 << 10], siz[1 << 10];
double f[1 << 10][46];
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y); -- x; -- y;
        link[x] |= (1 << y);
        link[y] |= (1 << x);
    }
    for(Rint i = 1;i < (1 << n);i ++) siz[i] = siz[i & (i - 1)] + 1;
    for(Rint S = 3;S < (1 << n);S += 2){
        for(Rint S0 = (S - 1) & S;S0;S0 = (S0 - 1) & S) if(S0 & 1){
            int T = 0;
            for(Rint i = 0;i < n;i ++) if((S >> i) & (~S0 >> i) & 1)
                T += siz[link[i] & S0];
            for(Rint i = 0;i + T <= m;i ++)
                f[S][i] += 1.0 / (1 + i + T) - f[S0][i + T];
        }
    }
    printf("%.6lf\n", f[(1 << n) - 1][0]);
}