Catalan

卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,2674440, 9694845,35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ... 令h(0)=1,h(1)=1，

catalan数满足递推式[1]：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

递推关系的另类解为： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

卡特兰数的递推公式为：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

应用问题 实质上都是递推等式的应用 : 1:矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序， 只用括号表示成对的乘积， 试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)[3]出栈次序

2: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?[4-5]

3: 类似问题 买票找零 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票， 剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？ (将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

4:

凸多边形三角划分 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。 现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。[6] 分析

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准， 以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn， 再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形， 用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……， Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。 此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘 以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。 而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为： f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式， 答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。 最后，令f（2）=1，f（3）=1。 此处f（2）=1和f（3）=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”， 也许可从凸四边形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推， 四边形的划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么2×f（2）f（3）=2，则f（2）f（3）=1， 又f（2）和f（3）若存在的话一定是整数，则f（2）=1，f（3）=1。

5:

类似问题 编辑本段 一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。 每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线， 那么有多少条可能的道路？ 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

下面总结了卡特兰数的一个模板 这里用的是 卡特兰数的递推公式为：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 也就是一个高精度问题的求解

hdu：1134

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;

int a[105][105];    //大数卡特兰数
int b[105];         //卡特兰数的长度
void catalan()  //求卡特兰数

{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)

 {
        for(j = 0; j < len; j++)    //乘法
            a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++)    //处理相乘结果

     {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
       }

   while(carry)    //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;//这里这样写是为了记住b[i]所对应的len
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法,这里看的不是很懂。比如28/6的话就等于4了
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }

        while(!a[i][len-1])     //高位零处理
            len --;
        b[i] = len;
    }
}

int main()
{
    int i, n;
    catalan();
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {

         for(i = b[n]-1; i>=0; i--)//这样话，对于打表求解的话确实很省时间
        {
            printf("%d", a[n][i]);
        }

        printf(" ");   

     }

    return 0;

}

 问题描述:
12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
这个笔试题，很YD，因为把某个递推关系隐藏得很深。

问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决。