摘要：
本章介绍了散列表（hash table）的概念、散列函数的设计及散列冲突的处理。散列表类似与字典的目录，查找的元素都有一个key与之对应，在实践当中，散列技术的效率是很高的，合理的设计散函数和冲突处理方法，可以使得在散列表中查找一个元素的期望时间为O(1)。散列表是普通数组概念的推广，在散列表中，不是直接把关键字用作数组下标，而是根据关键字通过散列函数计算出来的。
1、直接寻址表
当关键字的的全域（范围）U比较小的时，直接寻址是简单有效的技术，一般可以采用数组实现直接寻址表，数组下标对应的就是关键字的值，即具有关键字k的元素被放在直接寻址表的槽k中。直接寻址表的字典操作实现比较简单，直接操作数组即可以，只需O(1)的时间。
2、散列表
直接寻址表的不足之处在于当关键字的范围U很大时，在计算机内存容量的限制下，构造一个存储|U|大小的表不太实际。当存储在字典中的关键字集合K比所有可能的关键字域U要小的多时，散列表需要的存储空间要比直接寻址表少的很多。散列表通过散列函数h计算出关键字k在槽的位置。散列函数h将关键字域U映射到散列表T[0....m-1]的槽位上。即h:U->{0,1...,m-1}。采用散列函数的目的在于缩小需要处理的下标范围，从而降低了空间的开销。
散列表存在的问题：两个关键字可能映射到同一个槽上，即碰撞（collision）。需要找到有效的办法来解决碰撞。
3、散列函数
好的散列函数的特点是每个关键字都等可能的散列到m个槽位上的任何一个中去，并与其他的关键字已被散列到哪一个槽位无关。多数散列函数都是假定关键字域为自然数N={0,1,2,....}，如果给的关键字不是自然数，则必须有一种方法将它们解释为自然数。例如对关键字为字符串时，可以通过将字符串中每个字符的ASCII码相加，转换为自然数。书中介绍了三种设计方案：除法散列法、乘法散法和全域散列法。
（1）除法散列法
通过取k除以m的余数，将关键字k映射到m个槽的某一个中去。散列函数为：h(k)=k mod m 。m不应是2的幂，通常m的值是与2的整数幂不太接近的质数。
（2）乘法散列法
乘法散列法构造散列函数需要两个步骤。第一步， 用关键字k乘上常数A（0<A<1），并抽取kA的小数部分。然后，用m乘以这个值，再取结果的底。散列函数如下：h(k) = m(kA mod 1)。
（3）全域散列
给定一组散列函数H，每次进行散列时候从H中随机的选择一个散列函数h，使得h独立于要存储的关键字。全域散列函数类的平均性能是比较好的。
4、碰撞处理
通常有两类方法处理碰撞：开放寻址(Open Addressing)法和链接(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中；后者通常是把散列到同一槽中的所有元素放在一个链表中，而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。
(1)开放寻址法
所有的元素都在散列表中，每一个表项或包含动态集合的一个元素，或包含NIL。这种方法中散列表可能被填满，以致于不能插入任何新的元素。在开放寻址法中，当要插入一个元素时，可以连续地检查或探测散列表的各项，直到有一个空槽来放置待插入的关键字为止。有三种技术用于开放寻址法：线性探测、二次探测以及双重探测。
<1>线性探测
给定一个普通的散列函数h'：U —>{0，1，.....，m-1}，线性探测方法采用的散列函数为：h(k,i) = (h'(k)+i)mod m，i=0,1,....,m-1
探测时从i=0开始，首先探查T[h'(k)]，然后依次探测T[h'(k)+1]，…，直到T[h'(k)+m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探测到T[h'(k)-1]为止。探测过程终止于三种情况：
(1)若当前探测的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
(2)若当前探测的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
(3)若探测到T[h'(k)-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。
线性探测方法较容易实现，但是存在一次群集问题，即连续被占用的槽的序列变的越来越长。采用例子进行说明线性探测过程，已知一组关键字为(26，36，41，38，44，15，68，12，6，51)，用除余法构造散列函数，初始情况如下图所示：
散列过程如下图所示：
<2>二次探测
二次探测法的探查序列是：h(k,i) =(h'(k)+i*i)％m ,0≤i≤m-1 。初次的探测位置为T[h'(k)]，后序的探测位置在次基础上加一个偏移量，该偏移量以二次的方式依赖于i。该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。
<3>双重散列
该方法是开放寻址的最好方法之一，因为其产生的排列具有随机选择的排列的许多特性。采用的散列函数为：h(k,i)= (h1(k)+ih2(k)) mod m。其中h1和h2为辅助散列函数。初始探测位置为T[h1(k)]，后续的探测位置在此基础上加上偏移量h2(k)模m。
（2）链接法
将所有关键字为同义词的结点链接在同一个链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m- 1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于1，但一般均取 α≤1。
举例说明链接法的执行过程，设有一组关键字为(26，36，41，38，44，15，68，12，6，51)，用除余法构造散列函数，初始情况如下图所示：
最终结果如下图所示：
5、字符串散列
通常都是将元素的key转换为数字进行散列，如果key本身就是整数，那么散列函数可以采用key mod tablesize（要保证tablesize是质数）。而在实际工作中经常用字符串作为关键字，例如身姓名、职位等等。这个时候需要设计一个好的散列函 数进程处理关键字为字符串的元素。参考《数据结构与算法分析》第5章，有以下几种处理方法：
方法1：将字符串的所有的字符的ASCII码值进行相加，将所得和作为元素的关键字。设计的散列函数如下所示：
1 int hash(const string& key,int tablesize)
2 {
3 int hashVal = 0;
4 for(int i=0;i<key.length();i++)
5 hashVal += key[i];
6 return hashVal % tableSize;
7 }
此方法的缺点是不能有效的分布元素，例如假设关键字是有8个字母构成的字符串，散列表的长度为10007。字母最大的ASCII码为127，按照方法1可得到关键字对应的最大数值为127×8=1016，也就是说通过散列函数映射时只能映射到散列表的槽0-1016之间，这样导致大部分槽没有用到，分布不均匀，从而效率低下。
方法2：假设关键字至少有三个字母构成，散列函数只是取前三个字母进行散列。设计的散列函数如下所示：
1 int hash(const string& key,int tablesize)
2 {
3 //27 represents the number of letters plus the blank
4 return (key[0]+27*key[1]+729*key[2])%tablesize;
5 }
该方法只是取字符串的前三个字符的ASCII码进行散列，最大的得到的数值是2851，如果散列的长度为10007，那么只有28%的空间被用到，大部分空间没有用到。因此如果散列表太大，就不太适用。
方法3：借助Horner's 规则，构造一个质数（通常是37）的多项式，（非常的巧妙，不知道为何是37）。计算公式为:key[keysize-i-1]37^i,0<=i<keysize求和。设计的散列函数如下所示：
1 int hash(const string & key,int tablesize)
2 {
3 int hashVal = 0;
4 for(int i =0;i<key.length();i++)
5 hashVal = 37*hashVal + key[i];
6 hashVal %= tableSize;
7 if(hashVal<0) //计算的hashVal溢出
8 hashVal += tableSize;
9 return hashVal;
10 }
该方法存在的问题是如果字符串关键字比较长，散列函数的计算过程就变长，有可能导致计算的hashVal溢出。针对这种情况可以采取字符串的部分字符进行计算，例如计算偶数或者奇数位的字符。
6、再散列（rehashing）
如果散列表满了，再往散列表中插入新的元素时候就会失败。这个时候可以通过创建另外一个散列表，使得新的散列表的长度是当前散列表的2倍多一些，重新计算各个元素的hash值，插入到新的散列表中。再散列的问题是在什么时候进行最好，有三种情况可以判断是否该进行再散列：
（1）当散列表将快要满了，给定一个范围，例如散列被中已经被用到了80%，这个时候进行再散列。
（2）当插入一个新元素失败时候，进行再散列。
（3）根据装载因子（存放n个元素的、具有m个槽位的散列表T，装载因子α=n/m，即每个链子中的平均存储的元素数目）进行判断，当装载因子达到一定的阈值时候，进行在散列。
在采用链接法处理碰撞问题时，采用第三种方法进行在散列效率最好。