poj1061(扩展欧几里得)

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：设时间为t,则题目要求最小的非负整数t使等式(x+mt)%L=(y+nt)%L成立,
即(m-n)*t=k1*L+r且y-x=k2*L+r,两式相减得(m-n)*t+(k2-k1)*L=y-x,
令a=m-n,b=L,d=y-x,(a>0),x=t,y=k2-k1,
即ax+by=d,
设c=gcd(a,b),
1.当d%c!=0,显然此时无解；
2.当d%c==0,用扩展gcd求出一组特解(x,y)使ax+by=c,方程两边同时乘d/c，
a(x*(d/c))+b(y*(d/c))=d,即x1=x*(d/c),y1=y*(d/c)是ax+by=d的特解，
但x1不一定是最小的,
上述等式可变为a(x1+b*n)+b(y1-a*n)=d,(n为整数)
使x2=x1+b*n为最小的非负整数时,实际上就是让点x1加上n个b使得x1+n*b尽量小且大于等于0,
故x2=(x1%b+b)%b为答案。

这题的扩展gcd看了好多blog才懂啊。。。QAQ

#include<cstdio>
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{//求出gcd(a,b)顺带求出一组特解使得ax+by=gcd(a,b) 
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    long long x,y,m,n,L;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    long long a=m-n,d=y-x,b=L;
    if(a<0)
    {
        a=-a;
        d=-d;
    }
    long long c=exgcd(a,b,x,y);
    if(d%c)
        printf("Impossible
");
    else
    {
        x=x*d/c;
        printf("%lld
",(x%L+L)%L);
    }
    return 0;
}