【题解】CF830E Perpetual Motion Machine

目录

• 题解
  • 链
  • 菊花图
  • 特殊情况
• 注意事项

有翻译的传送门，可以点到原题

orz _ztyqwq, SIGSEGV.

给定 (n) 个点，(m) 条边的无向图，要求你给每个节点赋正权值 (a_i)，使得至少有一个节点有非零权值，且：

[sum_{i=1}^n a_i^2 le sum_{i=1}^m a_{u_i}a_{v_i} ]

其中 ((u_i,v_i)) 是图中的一条边。

题解

虽然题目中没有给定图的连通性，但如果有至少一个连通块构造满足条件，则其余节点赋 (0) 就一定合法。所以下面的讨论假定图连通。

首先，注意到给所有节点赋 (1) 时，条件等价于 (nle m)，即对于所有非树图，都存在一种构造。

考虑树的情况时，发现难以直接构造，考虑几种极端情况，比如：链和菊花图。

链

经过尝试，发现链的情况总是无解。证明：

设存在构造，链上每个点的权值为 (a_i)，则原式变形为：

[egin{aligned} sum_{i=1}^n a_i^2&le sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i\ sum_{i=1}^n a_i^2-sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i&le 0\ 2sum_{i=1}^n a_i^2-2sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i&le 0\ left(a_1^2+sum_{i=2}^n a_i^2 ight)+left(a_n^2+sum_{i=2}^n a_{i-1}^2 ight)-sum_{i=2}^n 2a_{i-1}a_i&le 0\ a_1^2+a_n^2+sum_{i=2}^n (a_i^2-2a_ia_{i-1}+a_{i-1}^2)&le 0\ a_1^2+a_n^2+sum_{i=2}^n (a_i-a_{i-1})^2&le 0\ end{aligned} ]

注意到左边一定为非负数，则不等式成立，即等号取到当且仅当 (a_1=a_2=cdots=a_n=0)，与题目条件矛盾，所以一定无解。

菊花图

考虑有解的边界。

显然，将中间的点权赋较大值，周围的点权取小更优。更极端地，所有叶子节点的点权都应为 (1)。设 (f_n(x)) 为 (n) 个点，中间点点权取 (x) 时，条件中 ( ext{右边}- ext{左边}) 的值。则易得表达式为 (f_n(x)=left(x^2+n-1 ight)-left((n-1)x ight)=x^2-(n-1)x+n-1)。

以 (x) 为主元，则 (f_n(x)) 为关于 (x) 的二次方程。即，(exist x\, f(x)ge 0 Leftrightarrow (n-1)^2-4(n-1)ge 0)，舍去不合法根解得 (nge 5)，即至少有 (4) 个叶子节点时一定有解。

构造也十分简单：中间节点赋 (2)，其余点赋 (1)。易证这样一定是合法的。

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如何将菊花图的构造拓展到一般的树呢？考虑如下构造：

• 如果该节点的度 (> 1)，即非叶子节点，赋 (2)；
• 否则，即为叶子节点，赋 (1)。

正确性：设有 (k) 个叶子节点，可得：

[egin{aligned} ext{左边}&=4(n-k)+k\ &=4n-3k\ end{aligned}\ egin{aligned} ext{右边}&=4(n-k-1)+2k\ &=4n-4k-4+2k\ &=4n-2k-4 end{aligned}\ egin{aligned} ext{左边}- ext{右边}&=(4n-3k)-(4n-2k-4)\ &=4-kle 0 end{aligned} ]

即 (kge 4)，这与菊花图的限制是相同的。

特殊情况

上面的分类讨论包括了：

• 叶子数为 (2)，这样的树一定是链；
• 叶子数 (ge 4)。

接下来我们将讨论最困难的一种情况：有 (3) 个叶子的树。

手玩片刻后，可能以为 (3) 个叶子是无解的。但考虑如下构造：

节点 (1) 的点权为 (3)，(2,4,6) 为 (2)，其余为 (1)。注意到此时满足条件。

依旧考虑有解的边界。首先注意到对于所有三个叶子节点的树，一定存在恰好一个度为 (3) 的节点（下文称为「根」），而删去这个节点后，这棵树就分成了三条链。

注意到三条链是互相独立的，所以考虑每条链对答案的贡献。注意这里，包括下文，对答案的定义为题目中式子的 ( ext{右边}- ext{左边})。显然，我们希望答案越大越好。

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令 (f(x,l)) 为根的权值为 (x) 时，节点数为 (l) 的链的最大贡献。套用链那段公式，即：

[f(x,l)=-{1over 2}minleft(x^2+a_n^2+sum_{i=2}^l (a_i-a_{i-1})^2 ight) ]

构造 (a) 的差分数组 (b)，即 (b_i=a_i-a_{i+1})（为了方便，令 (a_{l+1} = 1)）。则

[f(x,l)=-{x^2over 2}-{1over 2}minleft(sum_{i=1}^l b_i^2 ight) ]

由于 (sum b_i=x)，则均分一定最小，即：

[min sum b_i^2=l imes left(dfrac{x}{l} ight)^2=dfrac{x^2}{l} ]

所以 (f(x,l)=-dfrac{x^2}{2}-dfrac{x^2}{2l})，则答案为：

[egin{aligned} f(x,l_1)+f(x,l_2)+f(x,l_3)+2x^2&=2x^2-sum_{k=l_1,l_2,l_3}left(dfrac{x^2}{2}+dfrac{x^2}{2k} ight)\ &=dfrac{x^2}{2}-sum_{k=l_1,l_2,l_3}dfrac{x^2}{2k}ge 0 end{aligned} ]

等价于：

[egin{aligned} 1-sum_{k=l_1,l_2,l_3}dfrac{1}{k}&ge 0\ {1over l_1}+{1over l_2}+{1over l_3}&le 1 end{aligned} ]

这就是最终的条件。考虑给出构造。注意到我们只需要给出 ({1over l_1}+{1over l_2}+{1over l_3}= 1) 的构造即可（可证如果有构造，则答案一定恰好为 (0)），其余的情况中，一定存在删去某些链的末端得到上述情况的方法。此时只需要将该删去的节点赋成上一个（距离根更近的）的值，易证这样对答案无影响。

通过枚举，发现只有 ((3,3,3))，((2,4,4))，((2,3,6)) 满足条件。同时，要使答案恰好为 (0)，则上述所有不等式均须取到等号，即要满足 (b_i) 全部相等。考虑如下构造：

• 根节点权值为 (l_1l_2l_3)；
• 以第一条链为例，如果距离根节点距离为 (x)，则权值为 ((l_1-x)l_2l_3)。

容易证明这样的构造是满足条件的。

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最后，总结一下整体的步骤：

1. 提取连通块；
2. 检查是否为树；
3. 检查叶子节点个数；
4. 检查链长。

精细实现可以达到 (mathcal{O}(nalpha(n))) 的复杂度。（不太理解 (mathcal{O}(n)) 是什么科技）

注意事项

注意查链时的判重。

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