• 埃式筛法


    2016.1.25

    我们都知道,判断一个数是否为素数可以在O(√n)的时间复杂度内解决。但是如果是要求[1,n]内素数的个数,显然一个一个判断有些慢了。

    但我们知道一个显而易见的性质:一个合数的所有质因数都小于这个合数,一个质数没有比它小的质因数。

    那么我们可以利用已求得的质因数,来对比他大的合数进行筛除。

    具体操作如下:首先我们将2至n内的所有数字写下来。此时2为表中最小数,即为素数,然后将2的倍数全部划去。此时表中剩余最小数字是3,即3是素数,再将表中所有3的倍数划去。将该操作进行下去,每次表中剩余的最小的数即为素数,并将它的倍数都划去。

     

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    筛除2的倍数

    2

    3

    -

    5

    -

    7

    -

    9

    -

    11

    -

    13

    -

    15

    -

    17

    -

    19

    -

    筛除3的倍数

    2

    3

    -

    5

    -

    7

    -

    -

    -

    11

    -

    13

    -

    -

    -

    17

    -

    19

    -

    代码如下:

    int n,prime[1000005],e;
    bool is_prime[1000005];//is_prime为0表示为素数 
    void solve()//素数筛 
    {
        prime[0]=prime[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(!is_prime[i])
            {
                prime[++e]=i;
                if((long long)i*i>n) continue;//防止爆int 
                for(int j=i*i;j<=n;j+=i) is_prime[j]=1;
            }
        }
    }
    View Code

    这个筛法的时间复杂度并不显然,看起来像是O(n),在noip一般的数据规模下实测也确实接近线性,但他的时间复杂度其实是O(n loglogn),看起来也就是个常数稍大的线性而已ಥ_ಥ

    关于这个奇奇怪怪的时间复杂度的证明,其实蒟蒻的博主并没有看懂但贴在这里,有更好证法的可以告诉我ಥ_ಥ

    (转)

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