复数学习笔记

实部虚部

复数 (z) 的实部（Real part）记为 (operatorname{Re} z)（或 (operatorname{Re}(z))，(mathcal {Re}(z))，(mathfrak {R}(z))），虚部（Imaginary part）记为 (operatorname{Im}z)（或 (operatorname{Im}(z))，(mathcal {Im}(z))，(mathfrak{I}(z))）

共轭与模

(|z|) 称为 (z) 的模或绝对值，(ar z) 称为 (z) 的共轭复数。下面是它们的一些基本性质：

设 (z) 和 (w) 是两个复数，那么

1. (operatorname{Re} z=dfrac12(z+ar z))，(operatorname{Im} z = dfrac1{2mathrm{i}}(z-ar z))

2. (z) 为纯虚数 (iff) (z=-ar z) 且 (z eq 0)

3. (z) 为实数 (iff) (z=ar z)

4. (zar z=|z|^2)

5. (overline{z+w}=ar z+ar w,overline{zw}=ar zar w)

6. (|zw|=|z|\,|w|)，(left|frac zw ight|=frac{|z|}{|w|})

7. (|z|=|ar z|)

这些性质的证明都很简单，但在证明 (|zw|=|z|\,|w|) 时，初学者往往会用 (z) 和 (w) 的实部和虚部来表示 (|zw|) 和 (|z|\,|w|)，从而证明它们相等。其实，利用 (zar z=|z|^2) 来证明要简单得多：

[|zw|^2=(zw)(overline{zw})=(zar z)(war w)=|z|^2|w|^2 ]

复数共轭的四则运算

[overline{z_1pm z_2}=ar z_1pm ar z_2, overline{z_1cdot z_2} = ar z_1cdot ar z_2, overline{left(frac{z_1}{z_2} ight)} = frac{ar z_1}{ar z_2} ]

这几个公式表明：共轭运算和四则运算的顺序是可以交换的。

复数的辐角

以 (x) 轴的正半轴为始边、向量 (overrightarrow{OZ}) 所在的射线为终边的角 ( heta)，叫做复数 (z) 的辐角，记作 (operatorname{Arg}z= heta)。不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差 (2pi) 的整数倍。例如，复数 (mathrm{i}) 的辐角是 (frac{pi}{2}+2kpi (kinmathbb{Z}))。为了使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，满足 (0le heta < 2pi) 的辐角的值，叫做辐角主值，记作 (operatorname{arg}z)，即 (0le operatorname{arg} z <2pi)。

注：不同教材的定义略有差别，史济怀《复变函数》中定义 (-pile operatorname{arg} z <pi)。

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。 如果 (z=0)，那么与它对应的向量 (overrightarrow{OZ}) 缩成一个点（零向量），这样的向量的方向是任意的，所以复数 (0) 的辐角也是任意的。

代数形式

(z=a+bmathrm{i} (a,binmathbb{R}))

(z_1>z_2 implies z_1,z_2inmathbb{R})
(z_1-z_2>0 iff operatorname{Im}(z_1)=operatorname{Im}(z_2)wedge operatorname{Re}(z_1)>operatorname{Re}(z_2))
可见 (z_1>z_2) 不等价于 (z_1-z_2>0)，在复数域上不等式的性质不成立。

三角形式

(z=cos heta+mathrm{i}sin heta)

棣（dì）莫弗公式

[r_1(cos heta_1+mathrm{i}sin heta_2)cdot r_2(cos heta_2+mathrm{i}sin heta_2)=r_1r_2left[cos( heta_1+ heta_2)+mathrm{i} sin( heta_1+ heta_2) ight] ]

[[r(cos heta+mathrm{i}sin heta)]^n=r^n(cos n heta+mathrm{i}sin n heta) ]

[frac{r_1(cos heta_1+mathrm{i}sin heta_2)}{r_2(cos heta_2+mathrm{i}sin heta_2)} = frac{r_1}{r_2}left[cos( heta_1- heta_2)+mathrm{i} sin( heta_1- heta_2) ight] ]

复数相乘的几何意义： 由棣莫弗公式可以看到，两个复数相乘意味着将这两个复数的模长相乘，辐角相加。由此容易推出：(|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|)，(operatorname{Arg}left(z_1z_2 ight)= operatorname{Arg} z_1+operatorname{Arg}z_2)（或相差 (2pi)）

复数的开方

在复数范围内，开方这一运算已经和实数范围的大有不同。设 (z_0=r_0(cos heta_0+mathrm{i}sin heta_0))，则对 (z_0) 开 (n) 次方，本质上就是在解方程：(z^{n}=z_0) 。根据代数基本定理，我们知道它有且仅有 (n) 个解。再根据棣莫弗公式，不难推出下面这 (n) 个复数就是方程的解：

[z_{k}=sqrt[n]{r_0}left(cos frac{ heta_0+2 k pi}{n}+mathrm{i}sin frac{ heta_0+2 k pi}{n} ight), k=1,2, ldots, n ]

这就是复数开方的一般表达式。

单位根

多项式 (x^{n}=1) 的 (n) 个根称为 (1) 的 (n) 次单位根，记为 (xi_{k} (k=1,2, ldots, n))。

由复数开方公式：

[xi_{k}=cos frac{2 k pi}{n}+i sin frac{2 k pi}{n}(k=1,2, ldots, n) ]

特别地，当 (n=3) 时，记 (omega=-dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2}mathrm{i})，则 (1, omega, omega^{2}) 是 (1) 的三个 (3) 次单位根。（(omega) 是复数中的一个专有符号，它代表的就是这个 (3) 次单位根的复数，一般不会有其他含义）

关于 (n) 次单位根，有如下性质：

(xi_{k}^{n}=1 (k=1,2, ldots, n))，特别地，(xi_{k} (k=1,2, ldots, n-1)) 满足方程：

[x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x+1=0 ]

(xi_{k}=xi_{1}^{k} (k=1,2, ldots, n))

(x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x+1=left(x-xi_{1} ight)left(x-xi_{2} ight) cdotsleft(x-xi_{n-1} ight))

证明：由棣莫弗公式，

[xi_{1}^{k}=left(cos frac{2 pi}{n}+mathrm{i} sin frac{2 pi}{n} ight)^{k}=cos frac{2 k pi}{n}+mathrm{i} sin frac{2 k pi}{n}=xi_{k} ]

由因式定理，因为 (xi_{1}, xi_{2}, ldots, xi_{n}) 是方程 (x^{n}-1=0) 的 (n) 个根，故 (x^{n}-1=left(x-xi_{1} ight)left(x-xi_{2} ight) cdotsleft(x-xi_{n} ight))

根据幂差公式，(x^{n}-1=(x-1)left(x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+1 ight))。两者比较即有

[x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x+1=left(x-xi_{1} ight)left(x-xi_{2} ight) cdotsleft(x-xi_{n-1} ight) ]