简单快速求法向量(借0构造)

有一个向量中出现一个 (0)

根据垂直向量数量积为 (0) ，很容易构造与 (vec{m}=(a,0,b)) 垂直的向量：(vec{n}=(-b,y,a)) 或 (vec{n}=(b,y,-a))，注意 (0) 的位置与待定系数的位置相同。

例1

(overrightarrow{AB}=(2,1,3))，(overrightarrow{AC}=(-1,0,2))
根据 (overrightarrow{AC}) 构造法向量 (vec{n}=(2,y,1))
由 (vec{n}cdotoverrightarrow{AB}=0) 得 (4+y+3=0 Rightarrow y=-7)
即 (vec{n}=(2,-7,1))

例2

(overrightarrow{AB}=(2,2,1))，(overrightarrow{AC}=(-1,2,0))
根据 (overrightarrow{AC}) 构造法向量 (vec{n}=(2,1,z))
由 (vec{n}cdotoverrightarrow{AB}=0) 得 (4+2+z=0 Rightarrow z=-6)
即 (vec{n}=(2,1,-6))

两个向量有 (0) 在同一个位置

若两个向量有 (0) 在同一个位置，则直接得到沿着坐标轴的法向量。

例3

(overrightarrow{AB}=(2,0,1))，(overrightarrow{AC}=(-1,0,2)) 直接得到 (vec{n}=(0,1,0))

例4

(overrightarrow{AB}=(2,1,0))，(overrightarrow{AC}=(-1,3,0)) 直接得到 (vec{n}=(0,0,1))

有一个向量中出现两个 (0)

首先，构造与 (overrightarrow{AB}=(a,0,0)) 垂直的向量：(vec{n}=(0, \_ , \_))；

在此基础上，根据 (overrightarrow{AC}=(b,c,d)) 直接构造 (vec{n}=(0,d,-c)) 或 (vec{n}=(0,-d,c))。

例4

(overrightarrow{AB}=(2,0,0))，(overrightarrow{AC}=(-1,3,2))
根据 (overrightarrow{AB}) 构造法向量 (vec{n}=(0, \_ , \_))
根据 (overrightarrow{AC}=(-1,3,2)) 构造 (vec{n}=(0,-2,3))

两个向量都没有 (0)？

重新建系（误）

根据平面向量基本定理，(vec{c}=xvec{a}+yvec{b}) 与 (vec{a})，(vec{b})共面。若两个向量都没有 (0)，可以借此构造 (0)。

例5

(vec{a}=(2,1,3))，(vec{b}=(-1,3,2))
构造含 (0) 向量 (vec{c}=vec{a}+2vec{b}=(0,7,7))
将 (vec{c}) 简化为 ((0,1,1))，据此构造法向量 (vec{n}=(x,1,-1))
由 (vec{a}cdotvec{n}=0) 得 (2x+1-3=0 Rightarrow x=1)
即 (vec{n}=(1,1,-1))