CodeForeces 842d Vitya and Strange Lesson ——（带lazy标记的01字典树）

　　给一个序列，每次操作对这个序列中的所有数异或一个x，问每次操作完以后整个序列的mex值。

　　做法是去重后构建01字典树，异或x就是对root加一个x的lazy标志，每次pushDown时如果lazy的这一位是1，则交换左右儿子。找mex的话只要每次往左走，如果左子树是满的，则往右走，并且加上左边相应造成的贡献。具体见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 5;
typedef long long ll;

int n, m;
struct node
{
    int sz, lazy;
    node* ch[2];
    void init() {sz = 1; lazy = 0; ch[0] = ch[1] = NULL;}
}nodes[N<<2], *root;
int tot;

node* getnew()
{
    node *p = &nodes[tot++];
    p->init();
    return p;
}
void insert(node *p, int dep, int x)
{
    if(dep == -1) return ;
    int m = ((x>>dep) & 1);
    if(p->ch[m] == NULL)
    {
        p->ch[m] = getnew();
    }
    insert(p->ch[m], dep-1, x);
    int szl = p->ch[0] ? p->ch[0]->sz : 0;
    int szr = p->ch[1] ? p->ch[1]->sz : 0;
    p->sz = szl + szr + 1;
}
void down(node *p, int dep)
{
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(p->ch[i]) p->ch[i]->lazy ^= p->lazy;
    }
    if((p->lazy >> dep) & 1) swap(p->ch[0], p->ch[1]);
    p->lazy = 0;
}
void solve()
{
    node *p = root;
    int ans = 0;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        down(p, i);
        if(p->ch[0] && p->ch[0]->sz == (1<<i+1) - 1)
        {
            ans |= (1<<i);
            p = p->ch[1];
        }
        else
        {
            p = p->ch[0];
        }
        if(!p) break;
    }
    printf("%d
",ans);
}

map<int, int> mp;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    root = getnew();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x; scanf("%d",&x);
        if(mp[x]) continue;
        insert(root, 20, x);
        mp[x] = 1;
    }
    while(m--)
    {
        int x; scanf("%d",&x);
        root->lazy ^= x;
        solve();
    }
    return 0;
}

　　还有一个类似的题目，之前青岛场的热身赛，每次需要求的是前k小的和。具体的做法类似，求和时如果左边的sz比k小则直接加上左边的sum并且向右边递归即可。这里需要注意，到当前节点是，如果要求其子树的sum，需要先对其子树进行pushDown，因为其sum已经在其子树要进行交换儿子的时候发生变化了，因此每次pushDown维护sum时需要用log次暴力地算出现在的sum，那么就需要对每个节点维护一个have数组，来记录各位上0和1的位数。具体见代码（含暴力对拍）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 5;
typedef long long ll;

int n, m;
struct node
{
    int sz, lazy;
    ll sum;
    node* ch[2];
    int have[2][25];
    void init() {sz = 0; lazy = 0; sum = 0; ch[0] = ch[1] = NULL; memset(have, 0, sizeof have);}
}nodes[N<<2], *root;
int tot;

node* getnew()
{
    node *p = &nodes[tot++];
    p->init();
    return p;
}
void insert(node *p, int dep, int x)
{
    if(dep == -1)
    {
        for(int i=20;i>=0;i--)
        {
            p->have[x >> i & 1][i]++;
        }
        p->sz = 1; p->sum = x; return ;
    }
    int m = ((x>>dep) & 1);
    if(p->ch[m] == NULL)
    {
        p->ch[m] = getnew();
    }
    insert(p->ch[m], dep-1, x);
    int szl = p->ch[0] ? p->ch[0]->sz : 0;
    int szr = p->ch[1] ? p->ch[1]->sz : 0;
    p->sz = szl + szr;
    ll suml = p->ch[0] ? p->ch[0]->sum : 0;
    ll sumr = p->ch[1] ? p->ch[1]->sum : 0;
    p->sum = suml + sumr;
    //
    //p->have[m][dep] ++;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        p->have[0][i] = p->have[1][i] = 0;
        if(p->ch[0]) p->have[0][i] += p->ch[0]->have[0][i], p->have[1][i] += p->ch[0]->have[1][i];
        if(p->ch[1]) p->have[0][i] += p->ch[1]->have[0][i], p->have[1][i] += p->ch[1]->have[1][i];
    }

    /*if(x == 5 && dep == 2)
    {
        printf("%d ---- %d
",p->have[0][2], p->have[1][2]);
    }*/
}
void down(node *p, int dep)
{
    if(dep == -1)
    {
        p->sum ^= p->lazy;
        p->lazy = 0;
        return ;
    }
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        if(p->ch[i]) p->ch[i]->lazy ^= p->lazy;
    }
    if((p->lazy >> dep) & 1)
    {
        /*if(p->ch[0])
        {
            p->ch[0]->sum += (1<<dep) * p->ch[0]->sz;
        }
        if(p->ch[1])
        {
            p->ch[1]->sum -= (1<<dep) * p->ch[1]->sz;
        }*/
        swap(p->ch[0], p->ch[1]);
    }
    //ll suml = p->ch[0] ? p->ch[0]->sum : 0;
    //ll sumr = p->ch[1] ? p->ch[1]->sum : 0;
    //p->sum = suml + sumr;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(p->lazy >> i & 1)
        {
            p->sum += p->have[0][i] * (1<<i) - p->have[1][i] * (1<<i);
            swap(p->have[0][i], p->have[1][i]);
        }
    }
    p->lazy = 0;
}
/*void solve()
{
    node *p = root;
    int ans = 0;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        down(p, i);
        if(p->ch[0] && p->ch[0]->sz == (1<<i+1) - 1)
        {
            ans |= (1<<i);
            p = p->ch[1];
        }
        else
        {
            p = p->ch[0];
        }
        if(!p) break;
    }
    printf("%d
",ans);
}*/
ll query(node *p, int k, int dep)
{
    down(p, dep);
    if(p->ch[0] == NULL) return query(p->ch[1], k, dep-1);
    //if(dep)
    {
        if(p->ch[0]) down(p->ch[0], dep-1);
        if(p->ch[1]) down(p->ch[1], dep-1);
    }
    int szl = p->ch[0]->sz;
    //if(dep == 0 && k == 1) printf("%lld   %lld ====== %lld
",p->sum,p->ch[0]->sum, p->ch[1]->sum);
    if(k == szl)
    {
        return p->ch[0]->sum;
    }
    if(k < szl) return query(p->ch[0], k, dep-1);
    else
    {
        // if(dep) down(p->ch[0], dep-1);
        // if(dep == 2) printf("%lld ?????  %d 
",p->ch[0]->sum,szl);
        return p->ch[0]->sum + query(p->ch[1], k-szl, dep-1);
    }
}

map<int, int> mp;
int a[N], b[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    root = getnew();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x; scanf("%d",&x);
        //if(mp[x]) continue;
        insert(root, 20, x);
        //mp[x] = 1;
        a[i] = x;
    }
    while(m--)
    {
        int x, k; scanf("%d%d",&x,&k);
        root->lazy ^= x;
        printf("%lld -- ",query(root,k,20));
        for(int i=1;i<=n;i++) {a[i]^=x; b[i] = a[i];}
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d# ",a[i]); puts("");
        sort(b+1,b+1+n);
        ll ans = 0;
        for(int i=1;i<=k;i++) ans += b[i];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}
/*
5 100
45 69 47 52 12

*/