定义
已知序列的z变换(X(z)),求原序列(x(n))称为z反变换
X(z)的本质
(X(z))本质上是一个关于(z)的有理函数,可以表示一个关于(z)的多项式(N(z))除一个关于(z)的多项是(D(z)).
[X(z)=frac{N(z)}{D(z)}=frac{b_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{a_nz_n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0}
]
令分母(D(z)=0),方程的解称为极点,用(p_k)表示
令分子(N(z)=0),方程的解称为零点,用(z_k)表示
部分分式展开法求序列
[X(z)=frac{N(z)}{D(z)}=frac{b_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{a_nz_n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0}
]
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
- 把(X(z))分母分解成(n)个因式相乘
- 令(X_1(z)=frac{X(z)}{z}=frac{N_1(z)}{(z-p_1)...(z-p_n)}=frac{A_1}{z-p_1}+...frac{A_k}{z-p_k})
- (x(n)=[A_1(p_1)^n+...A_k(p_k)^n]u(n))