[题解]GDUT 2020年11月赛DE题

D 三哼儿经 EASY

平方复杂度的方法

对于字符串(S)

我们考虑每一个字符(S[pos], posin[0, n)).

计算有多少个以第(pos)个字符结尾的,含有奇数个(1)的子串.

我么可以这样想:

一个以第(pos)个字符为结尾的子串(S[start, pos]),可以看作是子串(S[0, pos])删掉前面的(S[0,start)).

然后可以发现

• 如果(S[0,pos])里出现了奇数个(1),而子串(S[0,start))里出现了偶数个(1),那么显然(S[start, pos])这个子串含有奇数(1).

• 如果(S[0,pos])里出现了偶数个(1),而子串(S[0,start))里出现了奇数个(1),那么显然(S[start, pos])这个子串含有奇数(1).

所以对于每一个字符(S[pos]),我们可以通过以上的方法来计算.

要注意,(S[0,pos])本身也要考虑,也就是要考虑(start)为0的情况(也就是前面部分是空串(S[0,0))).

伪代码如下

int len = strlen(S);
int one_cnt = 0;
int ans = 0;
for (int pos = 0; pos < len; ++S)
{
    int one_tmp = 0;
    if (S[pos] == '1') one_cnt++;
    if (one_cnt % 2) ans++; //S[0,0) 
    for (int start = 0; start < pos; ++start)
    {
        if (S[start] == '1') one_tmp++;
        if ((one_cnt) % 2 != (one_tmp) % 2) ans++;
    }
}

线性复杂度的方法

他们求和就能得到答案.

这时你会发现,这样对于每一个子串(S[0,pos]),都要往前面找有多少个(S[0.start))符合条件,这是应该(O(n^2))的.

可以这样优化.

我们用两个变量(cnt0)和(cnt1),分别有多少个 (S[0,x), xin[0, pos))含有奇数个(1),多少个 (S[0,x), xin[0, pos))含有偶数个(1).

在循环(pos)的时候就可进行维护这两个变量.

• 如果当前的如果(S[0,pos])里出现了奇数个(1),那么答案就加上(cnt0).

• 如果当前的如果(S[0,pos])里出现了偶数个(1),那么答案就加上(cnt1).

int len = strlen(S);
int cnt0 = 0, cnt1 = 0;
int one_cnt = 0;
int ans = 0;
cnt0++; //一开始cnt0计算了S[0.0);
for (int pos = 0; pos < len; ++S)
{
    if (S[pos] == '1') one_cnt++;
    if (one_cnt % 2) cnt1++;
    else cnt0++;
    if (one_cnt % 2) ans += cnt0;
    else ans += cnt1;
}

以下是巨丑无比的标程

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define maxn (100000+100)
#define p (998244353)

long long cnt[2];
char str[maxn];

int main()
{
    int n;
    int i;
    long long ans, pre1;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        scanf("%s", str);
        ans = pre1 = 0;
        cnt[0] = 1; cnt[1] = 0;

        for (i = 0; i < n; ++i)
        {
            pre1 += (str[i] == '1');
            ans = (ans + cnt[!(pre1%2)]) % p;
            cnt[pre1%2] += 1;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
}

E 三哼儿经HARD

题目要求算:

原字符串的每一个子串(S[start,pos])里面包含多少个符合条件的子串(S[st, ed](startleq st leq ed leq pos)).

但是这很难算,所以我们应该算的是:

每一个符合条件的子串(S[start, pos])被多少个子串(S[st,ed](stleq start leq pos leq ed))包含.

平方复杂度的方法

对于字符串

0110101

我们考虑他的这个子串(S[1, 4]=1101),如果要找一个子串(S[st,ed](stleq start leq pos leq ed)).

那么(st)的取值只能是([0,start])(也就是(0, 1)),(ed)的取值只能是([pos, len))也就是((4,5,6)).

所以子串(S[1,4])被((start+1)*(len-pos) = 6)个子串包含着((S[0, 4], S[0,5], S[0,6], S[1,4], S[1,5], S[1,6])).

如果要求(O(n^2))的复杂度,你应该已经知道该怎么算了.

我们可以(O(n^2))地找到每一个符合条件的子串,然后(O(1))地计算答案.

线性复杂度的方法

然而这题需要(O(n)),那么我们又可以优化一下.

如果我们考虑字符(pos),我们还是可以像EASY一样,(O(1))地找到每一个(start).

但是这题还要算他在多少个子串里出现过,那怎么办?

还是上面那个字符串

0110101

如果(pos=4),他前面的符合条件的(start)有({1, 4}).

如果要算每一对(start)和(pos)的贡献,我们可以知道是((start+1)*(len-pos)),

那么要一次性算多对(start)和(pos),动用小学学过的乘法分配率

[(start_1+1)*(len-pos) + (start_2+1)*(len-pos)+...\ =(start_1+1 + start_2+1 + ...)*(len-pos) ]

所以对于每一个(pos), 只要记录下所有小于(pos)的(start).

参考上面记录(cnt0)和(cnt1)的方法,我们就可(O(n))算出答案了.

• (cnt0):如果一个子串(S[0,start), startin[0,pos]),里面包含偶数个(1),那么cnt+=start+1

• (cnt1):如果一个子串(S[0,start), startin[0,pos]),里面包含奇数个(1),那么cnt+=start+1

丑代码如下,我写的时候脑子一片浆糊,但是我懒得再写一个了(反正懂的都懂.

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define maxn (100000+100)
#define p (998244353)

long long cnt[2];
char str[maxn];

int main()
{
    int n;
    int i;
    long long ans, pre1;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        scanf("%s", str+1);
        ans = pre1 = 0;
        cnt[0] = 1; cnt[1] = 0;

        for (i = 1; i <= n; ++i)
        {
            pre1 += (str[i] == '1');
            ans = (ans + cnt[!(pre1%2)]*(n-i+1) % p) % p;
            cnt[pre1%2] = (cnt[pre1%2] + i + 1) % p;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
}