题意/Description:
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(l,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第j个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下:
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分+subtree的根的分数
若某个子树为主,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出;
(1)tree的最高加分
(2)tree的前序遍历
读入/Input:
第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。
第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。
输出/Output:
第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。
第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。
题解/solution:
很显然,本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分,则动态方程可以表示如下:
F[l,r]=max{f[l,r],f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]}
题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列,因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点,用数组g[i,j]表示。记录很简单,大家都会的啦。
代码/Code:
var
g:array [0..51,0..51] of longint;
f:array [0..51,0..51] of int64;
a:array [0..51] of longint;
n:longint;
procedure doit(l,r:longint);
var
i:longint;
begin
if f[l,r]>0 then exit;
if l=r then
begin
f[l,r]:=a[l];
g[l,r]:=l;
exit;
end;
if l>r then
begin
f[l,r]:=1;
exit;
end;
for i:=l to r do
begin
doit(l,i-1);
doit(i+1,r);
if f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]>f[l,r] then
begin
f[l,r]:=f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i];
g[l,r]:=i;
end;
end;
end;
procedure show(l,r:longint);
begin
if l<=r then
begin
write(g[l,r],' ');
show(l,g[l,r]-1);
show(g[l,r]+1,r);
end;
end;
procedure init;
var
i:longint;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
read(a[i]);
fillchar(f,sizeof(f),0);
fillchar(g,sizeof(g),0);
end;
begin
init;
doit(1,n);
writeln(f[1,n]);
show(1,n);
end.