• 加分二叉树 树形DP


    题意/Description

        设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(l,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第j个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下: 
      subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分+subtree的根的分数 
      若某个子树为主,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 
        试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出; 
          (1)tree的最高加分 
          (2)tree的前序遍历 

     

    读入/Input

        第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。 

        第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。 

     

    输出/Output

        第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。 
        第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。 

     

    题解/solution

       很显然,本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分,则动态方程可以表示如下:

           F[l,r]=max{f[l,r],f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]}

        题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列,因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点,用数组g[i,j]表示。记录很简单,大家都会的啦。


    代码/Code

    var
      g:array [0..51,0..51] of longint;
      f:array [0..51,0..51] of int64;
      a:array [0..51] of longint;
      n:longint;
    procedure doit(l,r:longint);
    var
      i:longint;
    begin
      if f[l,r]>0 then exit;
      if l=r then
        begin
          f[l,r]:=a[l];
          g[l,r]:=l;
          exit;
        end;
      if l>r then
        begin
          f[l,r]:=1;
          exit;
        end;
      for i:=l to r do
        begin
          doit(l,i-1);
          doit(i+1,r);
          if f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i]>f[l,r] then
            begin
              f[l,r]:=f[l,i-1]*f[i+1,r]+a[i];
              g[l,r]:=i;
            end;
        end;
    end;
    
    procedure show(l,r:longint);
    begin
      if l<=r then
        begin
          write(g[l,r],' ');
          show(l,g[l,r]-1);
          show(g[l,r]+1,r);
        end;
    end;
    
    procedure init;
    var
      i:longint;
    begin
      readln(n);
      for i:=1 to n do
        read(a[i]);
      fillchar(f,sizeof(f),0);
      fillchar(g,sizeof(g),0);
    end;
    
    begin
      init;
      doit(1,n);
      writeln(f[1,n]);
      show(1,n);
    end.
    
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