BZOJ2749: [HAOI2012]外星人

2749: [HAOI2012]外星人

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Description

 

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Output

输出test行，每行一个整数，表示答案。

Sample Input

1
2
2 2
3 1

Sample Output

3

HINT

Test<=50 Pi<=10^5,1<=Q1<=10^9

Source

题解：

终于把这题搞掉了。。。

研究了一下此题的两种解法。

一种是直接求 这个数一直phi，最后能phi出多少个2，就是答案。

一种是利用递推的思想，用 f[i]表示i phi几次能变成1，有递推式 f[i]=f[phi(i)]+1

这两种方法都可以求出正确结果，让我们讨论一下为什么这样就可以：

首先，

题中给出了这样的公式，然后我们发现每次phi只能使每个质数的指数-1，然后这个 p[i]-1会继续质因数分解然后加在其它比它小的质数的指数上。

然后我们就会发现，2被phi的次数一定是最多的！！！

假设还有另一个质数 x 那么 phi(x)会多出1个2，所以 phi（2）的次数>=phi(x) 的次数！

所以 2被phi了多少次，ans就是多少！2还没有被phi完，其他质数的质数就已经都为0了！

然后呢？我们得到了一个什么结论？一个数被phi成1的次数就等于它phi了多少次2

这样的话 f[x]就等于 x phi 2的次数。

然后两种方法就统一了。

这也就解释了为什么不同的质数之间的被phi的次数是可以叠加的，因为我们加的实际上是同一个质数2的次数，而phi每次只能让2的指数-1！！！

还有一些细节要注意，这里就不提出了。

代码：直接递推求 f[x]（求phi写萎了。。。）（这里面的偶数求的会比实际少1，因为并没有计入第一次phi的2）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int m=200010;
int p[m],f[m],n,t,i,j,x,y;
long long ans; 
int main()
{
    for(i=1;i<=m;i++) p[i]=i;
    for(i=2;i<=m;i++)
        if(p[i]==i)
            for(j=i;j<=m;j+=i) p[j]=p[j]/i*(i-1);
    p[1]=1,f[1]=-1;
    for(i=2;i<=m;i++) f[i]=f[p[i]]+1;
    f[1]++,f[2]++; 
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(ans=1,i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(x==2) ans--;
            ans+=(long long)f[x]*y;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

代码：求2的个数

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 100000+5
#define maxm 500+100
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
int tot,p[maxn],f[maxn];
bool v[maxn];
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    f[1]=1;
    for2(i,2,maxn)
     {
         if(!v[i]){p[++tot]=i;f[i]=f[i-1];}
         for1(j,tot)
          {
              int t=i*p[j];
              if(t>maxn)break;
              v[t]=1;
              f[t]=f[i]+f[p[j]];
              if(i%p[j]==0)break;
          }
     }
    int m=read();
    while(m--)
     {
         int n=read();ll ans=1;
         for1(i,n) 
         {
             int x=read(),y=read();
             if(x==2)ans--;
            ans+=(ll)f[x]*y;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

其实f[x]=求2的个数，这里只是用了不同的方法。