数学是一门抽象的学科，意义在于在数学家们见识了很多具体事例之后可以从这些有相同特性的事例中找到共同点，并且加以模型概括。
就比如高等代数，其实就是对我们平常十分熟悉的坐标系的变换，向量的矢量加法，函数的相加，多项式的处理等方面将其中计算抽象出来，正如三蓝一棕所说，空间的本质就是数学家们对满足一些计算的性质加以概括，对于一个对象的集合和我们定义的封闭在内的运算，数学家们提炼出最本质的一些性质（数乘，加法，交换律，结合律这种），然后基于这些已定义的底层的基本性质再向上推导一些结论和性质，这就是空间的作用，比如线性空间，我们几乎可以把所有满足线性运算的对象都放在一个空间中，（类比面向对象方法中的实例化），结果这些性质是一定成立的，因为只要这些对象满足那些基本性质之后就可以基于这些基本性质推导出来你所熟悉的运算，只不过数学的公理和定义中给了一个抽象的名字，而你遇到的比如向量函数这类对象是实际存在的，当你把对象和抽象的名字替换就可以理解这些运算了。
从正交来看，正交具有很良好的性质，使得我们基于数字构成的坐标来表示空间中的运算更加方便。
可以发现，如果我们选定了一组正交基，在这个基上的坐标来表示空间中的任何一个向量（要注意，向量是广义的），然后我们在进行比如内积这样的运算的时候就计算更加简便了，以上的解释就是为了说明为什么我们在直角坐标系中可以直接通过坐标分量的乘积之和表示内积，如果我们没有选定直角坐标系（非正交）那么内积的计算就不会如此容易。
一个正交分解就可以产生一个投影函数（空间直和），
然后我们熟知的两点之间线段最短和点到直线最短距离是直线的外推抽象（请仔细品）：
学过一点高等代数，算是稍微理解了一下数学并不是仅仅考虑怎么计算，还考虑为什么这样计算，为什么可以这样计算。（抽象的道理啊……）