luogu4389：付公主的背包
题意：
给(nleq 10^5)个东西，每个物品有体积(v_i)，有无限件。
给定(m)，对于(sin [1,m])，问用这些物品恰好装(s)体积的方案数。
对(998244353)取模。
思路：
如果数据是(10^4)，那么这就是一道完全背包的题目。
但显然此时我们需要效率更高的算法。
我们知道在求凑成某种数值的方案数的时候可以先设计母函数。
[G(x)=prod(1+x^{v_i}+x^{2v_i}+...)
]
这个公式展开后，对于(sin[1,m])的项数的系数就是对应方案数。
暴力展开的话，时间复杂度会达到(O(n^2logn))，还不如写完全背包。
考虑优化。
第(i)个物品的多项式为：
[f(i)=sum_{j=0}x^{jv_i}=frac{1}{1-x^{v_i}}
]
可能有学过收敛域的同学可能会觉得有些疑惑，(p)级数要求公比的绝对值严格小于(1)，这里其实(x)只是一个符号而已，取值自定，所以我可以假设他是小于(1)的公比。
所以我们需要的多项式就是：
[g=prod_{i=1}^nf(i)
]
改乘法为加法：
[ln(g)=prod ln(f(i))=ln(sum f(i))
]
那么多项式如何求(ln)呢？
[lnf=int frac{f'}{f}
]
我们把(f(i))带入，下面用(v)代替(v_i)。
[lnf(i)=lnfrac{1}{1-x^v}=int frac{vx^{v-1}}{1-x^v}dx
]
将(f(i)=frac{1}{1-x^v})代入：
[int vx^{v-1}f(i)=intsum_{i=0}^infin x^{iv} imes vx^{v-1}=intsum_{i=1}^infin vx^{iv-1}
]
积分：
[sum_{i=1}^infin frac{1}{i}x^{iv}
]
这也就是(ln(sum f(i)))了。
但是我们要求的是(prod f(i))，所以还需要(exp)回来。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int G = 3;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 5e5+10;
ll qmi(ll a, ll b)
{
ll res = 1;
while(b)
{
if(b&1) res = (res*a)%mod;
b >>= 1;
a = (a*a)%mod;
} return res%mod;
}
int limit, len, rev[maxn];
void NTT(ll *c, int op)
{
for(int i = 1; i <= limit; i++)
if(i < rev[i]) swap(c[i], c[rev[i]]);
for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1)
{
ll gn = qmi(G, (mod-1)/(mid<<1));
if(op == -1) gn = qmi(gn, mod-2);
for(int j = 0, R = mid<<1; j < limit; j += R)
{
ll g = 1;
for(int k = 0; k < mid; k++, g = (g*gn)%mod)
{
ll x = c[j+k], y = g*c[j+k+mid]%mod;
c[j+k] = (x+y)%mod;
c[j+k+mid] = (x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(op == 1) return;
ll inv = qmi(limit, mod-2);
for(int i = 0; i <= limit; i++) c[i] = c[i]*inv%mod;
}
ll tmp[maxn];
void get_inv(ll *a, ll *b, int deg)
{
if(deg == 1)
{
b[0] = qmi(a[0], mod-2);
return;
}
get_inv(a, b, (deg+1)>>1);
len = 0, limit = 1;
while(limit <= (deg+deg)) limit <<= 1, len++;
for(int i = 1; i <= limit; i++)
rev[i] = (rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i = 0; i < deg; i++) tmp[i] = a[i];
for(int i = deg; i <= limit; i++) tmp[i] = 0;
NTT(tmp, 1), NTT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; i++)
b[i] = 1ll*(2-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
NTT(b, -1);
for(int i = deg; i <= limit; i++) b[i] = 0;
}
void deriv(ll *a, int n)
{
for(int i = 1; i < n; i++)
a[i-1] = i*a[i]%mod;
a[n-1] = 0;
}
void integ(ll *a, int n)
{
for(int i = n-1; i > 0; i--)
a[i] = a[i-1]*qmi(i, mod-2)%mod;
a[0] = 0;
}
void get_ln(ll *a, ll *b, int deg)
{
get_inv(a, b, deg);
for(int i = 0; i < deg; i++)
tmp[i] = a[i];
for(int i = deg; i <= limit; i++)
tmp[i] = 0;
deriv(tmp, deg);
NTT(tmp, 1); NTT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; i++)
b[i] = b[i]*tmp[i]%mod;
NTT(b, -1);
integ(b, deg);
}
ll c[maxn];
void get_exp(ll *a, ll *b, int n)
{
if(n == 1) {
b[0] = 1;
return;
}
get_exp(a, b, (n+1)>>1);
memset(c, 0, sizeof c);
get_ln(b, c, n); // c = lnb
c[0] = (1-c[0]+a[0]+mod)%mod;
for(int i = 1; i < n; i++)
c[i] = (a[i]-c[i]+mod)%mod;
NTT(c, 1); NTT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; i++)
b[i] = b[i]*c[i]%mod;
NTT(b, -1);
for(int i = n; i <= limit; i++)
b[i] = 0;
}
int n, m;
int cnt[maxn];
ll f[maxn], g[maxn];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1, x; i <= n; i++){
scanf("%d", &x);
cnt[x]++;
}
for(int v = 1; v <= m; v++)
if(cnt[v])
{
for(int iv= v; iv <= m; iv += v)
f[iv]=(f[iv]+cnt[v]*qmi(iv/v,mod-2)%mod)%mod;
}
get_exp(f, g, m+1);
for(int i = 1; i <= m; i++)
printf("%lld
", g[i]);
return 0;
}