LCA目前比较流行的算法主要有tarjian，倍增和树链剖分
1)tarjian
是一种离线算法，需要提前知道所有询问对
算法如下
1.读入所有询问对（u,v），并建好树（建议邻接表）
2.初始化每个节点各属一个并查集，都指向自己
3.对整棵树进行dfs（深度优先搜索）遍历
每处理到一个新节点(u)时看他的另一半（询问对象v）是否visit过，如果visit过了，则这组询问对的lca即v的并查集的根节点，若没有visit过，则继续向下深搜，该节点记为已visit
每当回溯的时候都将子节点的并查集并到父节点的并查集中
这样一遍走下来就完成了tarjian算法。
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2)树上倍增
f[i,j]表示i的第2^j祖先dfs预处理f[i,j]=f[f[i,j-1],j-1];
对于每一对x,y先将深度调成一样再枚举j逐一往上找，这两个过程都是log的
超详细树上倍增:orz
3)树剖
树剖(树链剖分)是一种在线算法，跑起来非常快，应该是目前LCA算法中最优的
建树后，我们需要把整棵树划为轻重链，
每一个非叶子节点都一定在一条重链上
定义：
重边：父节点与其子树最大（子节点最多）的节点的连边称为重边
轻边：非重边即为轻边
重链：相连的重边称为重链
划分重链后，我们要记一个jump数组表示存每个节点的“跳”的信息
如果这个节点在重链上，则jump[i]为它所属重链的根节点（最顶端）
如果这个节点不在重链上或者它是一条重链的顶端（根节点），那么jump[i]为它的父节点
接下来我们就可以处理询问对了
比如求两个节点a，b的LCA
我们先看他们是否在同一条重链上，如果是，则LCA即为深度较小的节点
如果不是，则我们需要比较jump[a]和jump[b]的深度，jump[a]比较浅则令a=jump[a]反之令b=jump[b]
重复以上过程直到a==b（LCA为这个节点）或a,b在同一条重链上时（LCA为深度浅的节点）
这样就完成了，复杂度虽说评是O(n*logn)但实际上跑起来快得多
超详细树剖:orz
练手题
洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
题目描述
如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。
输出格式：
输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。
输入输出样例
输入样例#1：
5 5 4 3 1 2 4 5 1 1 4 2 4 3 2 3 5 1 2 4 5
输出样例#1：
4 4 1 4 4
说明
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于30%的数据：N<=10，M<=10
对于70%的数据：N<=10000，M<=10000
对于100%的数据：N<=500000，M<=500000
样例说明：
该树结构如下：
第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。
第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。
第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。
第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。
第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。
故输出依次为4、4、1、4、4。
LCA板子!!!
1)tarjan
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; const int N = 500005; const int M = 1000005; int top,cnt,dad[N],ans[N]; bool used[N]; struct heads { int head; }v1[N],v2[N]; struct Edge { int v,next,num; }e1[M],e2[M]; void chu() { memset(v1,-1,sizeof(v1)); memset(v2,-1,sizeof(v2)); memset(dad,-1,sizeof(dad)); memset(used,0,sizeof(used)); } int getdad(int x) {return dad[x] == -1 ? x : dad[x] = getdad(dad[x]);} void Unions(int a,int b) { int r1=getdad(a); int r2=getdad(b); if(r1!=r2) dad[r2]=r1; } void add1(int u,int v) { e1[top].v=v; e1[top].next=v1[u].head; v1[u].head=top++; } void add2(int u,int v,int i) { e2[cnt].num=i; e2[cnt].v=v; e2[cnt].next=v2[u].head; v2[u].head=cnt++; } void Tarjan(int u) { used[u]=true; for(int i=v1[u].head;i!=-1;i=e1[i].next) { int v=e1[i].v; if(used[v]) continue; Tarjan(v); Unions(u,v); } int Ms; for(int i=v2[u].head;i!=-1;i=e2[i].next) { int v=e2[i].v; Ms=e2[i].num; if(used[v])///==getdad(v) ans[Ms]=getdad(v); } } int main() { int n,m,s,u,v; scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); chu(); int nn=n; n--; while(n--) { scanf("%d%d",&u,&v); add1(u,v),add1(v,u); } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); add2(u,v,i),add2(v,u,i); } Tarjan(s); for(int i=1;i<=nn;i++) printf("%d ",ans[i]); return 0; }
2)树上倍增
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> //maybe my English is not very good using namespace std; const int M = 5e5 + 1; int n,m,s; int num; int deep[M],h[M]; bool vs[M]; int jumps[M][21]; int p; struct A{ int next; int to; }t[M<<1]; inline int read() //optimize { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return x*f; } void ADD(int x,int y) //connect the x and the y { num++; t[num].to=y; t[num].next=h[x]; h[x]=num; } void Dfs(int u) { for(int i=h[u];i!=-1;i=t[i].next) { int v=t[i].to; //u's next side if(deep[v] == 0) //if v is not visited { deep[v]=deep[u]+1; //deep+1 jumps[v][0]=u; //u is v's dad Dfs(v); //continue Dfs } } } void steps() { p=int(log(n)/log(2)+0.001); //find the biggest for(int i=1;i<=p;i++) //the Limit for(int j=1;j<=n;j++) jumps[j][i]=jumps[jumps[j][i-1]][i-1]; //the j jump 2^i can get to the (first jump 2^(i-1),then jump 2^i-1 can get to) //eh...I will speak in Chinese. //because 倍增 is use 次方的形式 increase } int LCA(int a,int b) { //We let the b's deep is small if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b); for(int i=p;i>=0;i--) {//first let the a jump to the b's deep if(deep[jumps[a][i]]>=deep[b]) a=jumps[a][i]; } if(a == b) return b; //if the b is them's LCA , return b for(int i=p;i>=0;i--) //jump together { if(jumps[a][i]!=jumps[b][i]) a=jumps[a][i],b=jumps[b][i]; //update } return jumps[a][0]; } int main() { //s is the root n=read();m=read();s=read(); for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=-1; int x,y; for(int i=1;i<n;i++) { x=read();y=read(); //connect the x and the y ADD(x,y); ADD(y,x); } deep[s]=1; //this is too important !!! //if you don't think so ,"//" it. //and then you will know Dfs(s); //Dfs the root(s) steps(); //find the steps int a,b; while(m--) { a=read();b=read(); printf("%d ",LCA(a,b)); } return 0; }
#include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<stdio.h> #include<vector> #define maxn 500500 using namespace std; ///隶属邻接表 struct Edge{ //邻接表的结构体 int from,to; }edges[2*maxn]; //边要乘2，因为是无向图 ； int first[maxn],next[2*maxn]; //同理； int read(){ //读入优化，可以照着这个模板来写，这个还算写的比较好看。 int re=0; char ch=getchar(); while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9'){ re=re*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return re; } /////////////////////////////////////////////// ///全局变量 int n,m; int root; int height[maxn]; float log2n; /////////////////////////////////////////////////////// ///隶属LCA的全局变量 int f[maxn][20];// int have[maxn]; //have，有没有找过，这都是套路 。 void dfs(int u,int h){ //u代表点的标号，h代表高度。 int v; height[u]=h; for(int i=1;i<=log2n;i++) { if(h<=(1<<i)) break; //由于i是从小到大计算的，故（1<<i）>=h 时可直接退出。请务必想清楚是<= 还是=。 f[u][i] = f[ f[u][i-1] ][i-1]; //动规计算。同样也是一切倍增算法的核心。 } int k=first[u]; while(k!=-1){ v=edges[k].to; if(!have[v]) { have[v]=1; f[v][0]=u; //将要找的下一个点的父节点标为当前处理的节点u。 dfs(v,h+1); } k=next[k]; } } int require_LCA(int a,int b){ int da=height[a],db=height[b]; //第一步，将a，b两点移到同样的高度，只动高度大的那个点而不动高度小的那个点。 if(da!=db) { if(da<db){ //保证a的高度是大于b的高度的。 swap(a,b); swap(da,db); } int d=da-db; for(int i=0;i<=log2n;i++) if( (1<<i) & d) a=f[a][i]; //这里的位运算可以减少代码量 //考虑到d是一个定值，而（1<<i）在二进制中只有第（i+1）位是1； //那么d与（1<<i）如果某一位为1，那么表示可以向上移动， //如果此时不移动，那么i增大了后就无法使height[a]==height[b]了 } //第二步,找到某个位置i，在这个位置时，f[a][i]!=f[b][i],但再向上移动一步，a，b相同了 //从log2n开始从大到小枚举i，如果超过了a，b的高度，则令i继续减小 //如果没有超过a，b的高度，那么就判断移动了后会不会让a==b， //是，则i继续减小，否则，令此时的a=f[a][i],b=f[b][i]; if(a==b) return b; int i=0; for(i=log2n;i>=0;i--) { if(height[ f[a][i] ]<0) continue; if( f[a][i]==f[b][i] ) continue; else a=f[a][i],b=f[b][i]; //顺便一提，在第二步任何地方没有break； //我就是因为在这里写了一个break，然后找了我两个小时啊。 } return f[a][0]; } ///////////////////////////////// ///据说从主函数开始阅读是个好习惯。 int main(){ // freopen("in2.txt","r",stdin); n=read();m=read();root=read(); memset(first,-1,sizeof(first)); memset(next,-1,sizeof(next)); int s,t; int dsd=2*(n-1); for(int i=1;i<=dsd;i+=2) { s=read();t=read(); //读入优化。 edges[i].from=s; edges[i].to=t; edges[i+1].from=t; edges[i+1].to=s; next[i]=first[s]; first[s]=i; next[i+1]=first[t]; first[t]=i+1; } // 以上是邻接表，在此不再赘述。 log2n=log(n)/log(2)+1; //C++计算log是自然对数，我们要用的以2为底的对数，故要除以log(2); //对无理数加上1或是0.5是个好习惯，可以减小误差； memset(have,0,sizeof(have)); memset(height,0,sizeof(height)); memset(f,-1,sizeof(f)); have[root]=1; //fa[][]和height[]要在dfs理进行计算，不然根本找不到某个非根节点的父亲是谁; dfs(root,1); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=log2n;j++) { if(height[i] <=(1<<j) ) break; } } for(int i=0;i<m;i++) { //应对要求进行求解。 s=read();t=read(); int y=require_LCA(s,t); printf("%d ",y); } return 0; }
3)树剖
#include <iostream> #include <cstdio> #define _(ch) ch=read() //便于读入 using namespace std; const int S = 500001; bool f[S]; //dfs 标记 int n,m,s; int fa[S]; //并查集 int num,h[S]; //邻接表 int deep[S]; //深度 int sum[S]; //子结点个数 int dad[S]; //链头元素 struct B{ int to,next; }t[S<<1]; inline int read() //optimize { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return x*f; } void ADD(int x,int y) //connect the x and the y { num++; t[num].to=y; t[num].next=h[x]; h[x]=num; } inline int Find(int x) //find the root (重链's top) {return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]);} inline void Unions(int a,int b) { //union(搭重链) /*int f1=Find(a); int f2=Find(b); if(f1!=f2) { fa[f1]=f2; }*/ fa[Find(b)]=Find(a); } inline void dfs(int p)//D is the (结点) {//calc every D's son D //每个结点的深度 f[p]=true; int maxx=0; //寻找子节点中拥有子结点个数最多的节点编号 sum[0]=-1; //0号没有子结点 for(int j=h[p];j;j=t[j].next) { //进行遍历 int v=t[j].to; if(f[v]) continue; deep[v]=deep[p]+1; dad[v]=p; //p is v's dad dfs(v); //continue dfs if(sum[v] > sum[maxx]) maxx=v; //update sum[p]+=sum[v]+1; // p的子结点数 = p 的以'v'为根的子树的结点数目加上'v'这个点(即+1) } if(maxx) Unions(p,maxx); //if updated //that means find the (重链) succeed } inline int jump(int p) //find p can jump to { int top=Find(p); //(重链)'s top if(top == p) return dad[p]; // 如果p所处于的链的链头就是自己,也就是说,已经位于链的top处,所以只能够跳到他的父结点的位置, // 所以直接return it's dad,即跳一步到达父结点处 // 说白了就是说,一定要跳!!! return top; //其余情况就返回链头就好(就是当前结点跳到了链头位置) } inline int Lca(int a,int b) //Lca { while(a!=b) //当两点不相等的时候就开始跳 { if(Find(a)==Find(b)) //如果它们位于同一条重链上 return deep[a]<deep[b] ? a:b; //直接返回深度较浅的那个点 int ja=jump(a),jb=jump(b); if(deep[ja] > deep[jb]) //如果a跳了之后没有到达b跳了之后的深度 a=ja; //就选取深度较深的点跳 else b=jb; } return a; } int main() { _(n),_(m),_(s); int x,y; for(int i=1;i<n;i++) { _(x),_(y); ADD(x,y),ADD(y,x); fa[i]=i; //顺便初始化一下并查集 } fa[n]=n; //有一个没有进行初始化的并查集,进行初始化 deep[s]=1; //根结点的深度设置为1,非常重要!!!! dfs(s); //寻找子节点个数,位于哪一条重链上 while(m--) { _(x),_(y); printf("%d ",Lca(x,y)); } return 0; }