前置知识
杜教筛
套路
杜教筛是用来求一类积性函数的前缀和
它通过各种转化，最终利用数论分块的思想来降低复杂度
假设我们现在要求$S(n) = sum_{i = 1}^n f(i)$，$f(i)$为积性函数,$n leqslant 10^{12}$
直接求肯定是不好求的，不过现在假设有另一个积性函数$g$
我们来求它们狄利克雷卷积的前缀和
$$sum_{i = 1}^n (g * f) = sum_{i = 1}^n sum_{d mid i} g(d) f(frac{i}{d})$$
$$= sum_{d = 1}^n g(d) sum_{d|i} f(frac{i}{d})$$
$$= sum_{d = 1}^n g(d) sum_{i = 1}^{frac{n}{d}}f(i)$$
$$= sum_{d = 1}^n g(d) S(frac{n}{d})$$
然后就化不动了，不过我们发现我们化出了$frac{n}{d}$！excited
但是$S(n)$怎么求呢？
容斥一下
$$g(1)S(n) = sum_{d = 1}^n g(d)S(frac{n}{d}) - sum_{d = 2}^n g(d)S(frac{n}{d})$$
前半部分是狄利克雷卷积的前缀和的形式
后半部分可以数论分块。这样看起来就好搞多了
现在我们的问题是，如何选择$g$才能使得上面这个式子好算
这个就要因情况而定了
下面煮几个典型栗子
$mu$函数
定理：$sum_{d mid n} mu(d) = [n = 1]$
那么我们如果选择$g = 1(i)$，
这样对于每一项，$(g * f)(i) = sum_{d | i} 1 * mu(frac{i}{d}) = e$
其中$e$为原函数，$e = [n = 1]$
因此$g$与$mu$的卷积的前缀和肯定为$1$
上面的式子变为
$S(n) = 1 - sum_{d = 2}^n S(frac{n}{d})$
后半部分直接数论分块就好
$varphi$函数
定理：$sum_{d mid n}varphi(d) = n$
我们的$g$还是选$1$做卷积
那么$(g * f)(i) = sum_{d | i} 1 varphi(frac{i}{d}) = i$
因此$sum_{i = 1}^n g * f = frac{n (n + 1)}{2}$
我们要求得式子变为
$$S(n) = frac{n * (n + 1)}{2} - sum_{d = 2}^n S(frac{n}{i})$$
前半部分$O(1)$算，后半部分数论分块
题目
目前没有做多少题目，而且我的杜教筛是分两波学的，所以码风差异可能比较大qwq。
如果需要真·杜教筛题目的话可以去看糖教的博客
https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009