序列分割[Apio2014]

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

 

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

 

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】 

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

 

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　　首先，我们可以通过数学归纳法证明只要切割位置一定，顺序不影响最终分数。

　　所以我们可以设f[i][k]表示前i个数切割k次获得的最大分数。状态转移方程为f[i][k] = max{f[j][k-1]+pre[j]*(pre[i]-pre[j])}，通过斜率优化+滚动数组可以使时间和空间满足要求。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
#define RI register int
using namespace std;
const int INF = 0x7fffffff ;
const int N = 100000 + 10 ;
const int M = 200 + 10 ;

inline LL read() {
    LL k = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ;
    for( ; !isdigit(c) ; c = getchar())
      if(c == '-') f = -1 ;
    for( ; isdigit(c) ; c = getchar())
      k = k*10 + c-'0' ;
    return k*f ;
}
int n, k ; LL pre[N], f[N][2] ; int q[N] ;

inline LL sqr(LL x) { return x*x ; }
inline double Y(int j,int k) { return -f[j][k]+sqr(pre[j]) ; }
inline double X(int j) { return pre[j] ; }
inline double Rate(int i,int j,int k1,int k2) { return (X(j) == X(i)) ? INF : (Y(j,k2)-Y(i,k1))/(X(j)-X(i)) ; }

int main() {
    n = read(), k = read() ;
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i] = pre[i-1] + read() ; 
    for(int w=1;w<=k;w++) {
        int head = 1, tail = 1 ; q[1] = 0 ;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            while(head < tail && Rate(q[head],q[head+1],(w-1)&1,(w-1)&1) < pre[i]) head++ ;
            int j = q[head] ; f[i][w&1] = f[j][(w-1)&1]+pre[i]*pre[j]-sqr(pre[j]) ;
            while(head < tail && Rate(q[tail-1],q[tail],(w-1)&1,(w-1)&1) > Rate(q[tail],i,(w-1)&1,(w-1)&1)) tail-- ;
            q[++tail] = i ;
        }
    }
    printf("%lld",f[n][k&1]) ;
    return 0 ;
}

    几个易错点：（其实就是我犯的错误啦qwq）

•  斜率可能不存在（直线竖直放置），需要特判。
•  第34行第二个斜率的i点还是要用上一层数组的数据，即要写成 Rate(q[tail],i,(w-1)&1,(w-1)&1)) 而不是 Rate(q[tail],i,(w-1)&1,w&1))
  。