【题解】「THUPC 2017」小 L 的计算题 / Sum

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题目大意：给你一个长度为(n)的数组，求(f_k=sum_{i=1}^na_i^k(1leqslant kleqslant n))

猜测是两个多项式相乘/除，又乱猜出那两个多项式，就可以通过此题

设(S={1,2,3,dots,n})，(t_i=sum_{Tsubseteq S,|T|=i}prod_{win T}a_w)，(t_0=1)。

设(p_{i,j}=sum_{k=1}^na_k^jsum_{Tsubseteq(S-lbrace k brace),|T|=i-j}prod_{win T}a_w)，特别地，当(j=i)，(p_{i,j}=f_i)，当(j>i)，(p_{i,j}=0)。易证，(p_{i,1}=it_i)。

容易发现(f_it_j=p_{i+j,i}+p_{i+j,i+1})（可从最高次项的指数推导，(f_i imes t_j)最高次项的指数为(i)或(i+1)）。

于是(sum_{j=0}^{i-1}(-1)^{i-j}f_{i-j}t_{j}=-p_{i,1}=-i*t_i)，(t_i)可分治求出（(t_i)为(prod_{j=1}^n(a_jx+1))的(i)次项），令(G(x)=sum_{i=0}^n-it_i)，(H(x)=sum_{i=0}^nt_i)，则(f_k)即(frac{G(x)}{H(x)})的(i)次项乘((-1)^i)。

抄板子多项式求逆

code：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cctype>
#define inf 998244353
char buf[1<<20],*p1,*p2;
#define GC (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?0:*p1++)
inline int R(){
	char t=GC;
	int x=0;
	while(!isdigit(t)) t=GC;
	while(isdigit(t)) x=x*10+t-48,t=GC;
	return x;
}
int _0[1048576],_lset=-1;
inline void mod(int &p){while(p>=inf)p-=inf;}
inline int ksm(long long a,int b){register int ans=1;while(b)(b&1)&&(ans=a*ans%inf),a=a*a%inf,b>>=1;return ans;}
inline void init(int n){if(_lset==n)return;_lset=n;_0[0]=0;for(register int i=1;i<n;i++)_0[i]=i&1?_0[i^1]|n>>1:_0[i>>1]>>1;}
inline void mul(int a[],int b[],int n){for(register int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%inf;}
inline void clr(int a[],int l,int r){for(register int i=l;i<r;i++)a[i]=0;}
inline void cpy(int a[],int b[],int n){for(register int i=0;i<n;i++)b[i]=a[i];}
inline void ntt(int a[],int n,bool typ){
	init(n);
	for(register int i=0;i<n;i++)if(i<_0[i])a[i]^=a[_0[i]]^=a[i]^=a[_0[i]];
	for(register int i=1;i<n;i<<=1){register int w=ksm(typ?332748118:3,(inf-1>>1)/i);
		for(register int j=0;j<n;j+=i<<1){register long long h=1;
			for(register int k=0;k<i;k++,h=w*h%inf){
				register int p=a[j+k],q=h*a[i+j+k]%inf;
				mod(a[j+k]=p+q);mod(a[i+j+k]=p+inf-q);
			}
		}
	}if(typ){
		register long long t=ksm(n,inf-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=t*a[i]%inf;
	}
}
inline void getinv(int a[],int b[],int tmp[],int n){
	clr(b,0,n<<1);
	b[0]=ksm(a[0],inf-2);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		clr(tmp,0,i<<2);
		cpy(a,tmp,i<<1);
		ntt(tmp,i<<2,0);
		ntt(b,i<<2,0);
		mul(tmp,b,i<<2);
		mul(tmp,b,i<<2);
		for(int j=0;j<i<<2;j++)mod(tmp[j]=b[j]+inf-tmp[j]),mod(tmp[j]+=b[j]);
		cpy(tmp,b,i<<2);
		ntt(b,i<<2,1);
		clr(b,i<<1,i<<2);
	}
}
int a[1048576],b[1048576],c[1048576],t[1048576],n,m,pool[102][524288],dat[200002],T;
std::stack<int>hdhd;
inline int gett(int n){while(n!=(n&-n))n^=n&-n;return n<<=1;}
int gett(int l,int r){
	if(l==r){
		int h=hdhd.top();hdhd.pop();
		pool[h][0]=1;
		pool[h][1]=dat[l];
		pool[h][2]=0;
		pool[h][3]=0;
		return h;
	}int p=gett(l,l+r>>1),q=gett(l+r+2>>1,r),topp=gett((l+r>>1)-l+1),topq=gett(r-(l+r>>1)),top=gett(r-l+1);
	if(topp!=top)clr(pool[p],topp,top);
	if(topq!=top)clr(pool[q],topq,top);
	ntt(pool[p],top,0);
	ntt(pool[q],top,0);
	mul(pool[p],pool[q],top);
	ntt(pool[p],top,1);
	hdhd.push(q);
	return p;
}
int main(){
	T=R();
	while(T--){
		m=R();n=gett(m+1);
		for(int i=1;i<=m;i++)dat[i]=R();
		clr(t,0,n<<1);
		while(!hdhd.empty())hdhd.pop();
		for(int i=0;i<=100;i++)hdhd.push(i);
		int p=gett(1,m);t[0]=1;
		for(int i=1;i<=m;i++)t[i]=pool[p][i];
		getinv(t,b,c,n);
		clr(a,0,n<<1);
		for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=1ll*(inf-i)*t[i]%inf;
		ntt(a,n<<1,0);
		ntt(b,n<<1,0);
		mul(a,b,n<<1);
		ntt(a,n<<1,1);int ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)ans^=(i&1?(a[i]?inf-a[i]:0):a[i]);
		printf("%d
",ans);
	}
}