• 数论总结(二)


    (一)欧拉函数

    用途:对正整数n欧拉函数varphi(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

    通式:
      
    ,其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
    若n是质数p的k次幂,
      
    ,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。


    (二)欧拉定理

    互质:若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质。

    数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明,若n,a为正整数且n,a互质,则:

           a^[φ(n)]≡1 (mod n)

    其中:      φ函数的值  通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。

    φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

     

    证明

    将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数)

    我们考虑这么一些数:

         m1=a*x1;       m2=a*x2;        m3=a*x3       ……      mφ(n)=a*xφ(n)

    1)这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:

    mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xR<n,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数。

    2)这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么a*xi=pn+qr=r(……),a*xi与n不互质,而这是不可能的。那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n.

    由1)和2)可知,数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

    故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

    或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

         ( 公式: a=b(mod n) <=> a+c=b+c(mod n) 

    <=> a-b=0 (mod n) )

    或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}(mod  n)≡0 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

    可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质,所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除,即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n),即a^[φ(n)]≡1 (mod n),得证。



     

    (三)费马小定理


    a是不能被质数p整除的正整数,则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

    证明这个定理非常简单,由于p是质数,所以有φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p),因为a能被p整除时结论显然成立。


     

    (四)费马大定理

    n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。


    (五)中国剩余定理 

    中国剩余定理(CRT)的表述如下

     

    设正整数两两互素,则同余方程组

     

                                 

     

    有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为

     

                                   

     

    其中,而的逆元。


    int CRT(int a[],int m[],int n)
    {
        int M = 1;
        int ans = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            M *= m[i];
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int x, y;
            int Mi = M / m[i];
            extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
            ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
        }
        if(ans < 0) ans += M;
        return ans;
    }



    (六)鸽巢原理(抽屉原理)

    鸽巢原理,又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。

    其中一种简单的表述法为:

       若有n个笼子和n+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少2只鸽子

    另一种为:

       若有n个笼子和kn+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子

    如果要把n个物件分配到m个容器中,必有至少一个容器容纳至少⌈n / m⌉个物件。(⌈x⌉大于等于x的最小的整数)


    (七)容斥原理

    容斥原理又称排容原理,在组合数学里,其说明若A_1, ..., A_n 为有限集,则

    left|igcup_{i=1}^n A_i
ight|=sum_{i=1}^nleft|A_i
ight|-sum_{i,j\,:\,i
eq j}left|A_icap A_j
ight|+sum_{i,j,k\,:\,i
eq j
eq k}left|A_icap A_jcap A_k
ight|- cdotscdots pm left|A_1capcdotscap A_n
ight|

    其中|A|表示A基数。例如在两个集的情况时,我们可以透过将|A||B|相加,再减去其交集的基数,而得到其并集的基数。

    也可以写成:

    mathbb{P}iggl(igcup_{i=1}^n A_iiggr)  =sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}sum_{scriptstyle Isubset{1,ldots,n}atopscriptstyle|I|=k} mathbb{P}(A_I),

    特殊情况:

    如果在容斥原理的概率形式中,交集AI的概率只与I中元素的个数有关,也就是说,对于{1, ..., n}中的每一个k,都存在一个ak,使得:

    a_k=mathbb{P}(A_I),对于每一个 Isubset{1,ldots,n} \,\, (|I|=k),

    则以上的公式可以简化为:

    mathbb{P}iggl(igcup_{i=1}^n A_iiggr)  =sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}inom nk a_k



    (八)欧几里得

    欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

    基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

    int gcd(int a,int b)
    {
        return b ? gcd(b,a%b) : a;
    }


    (九)扩展欧几里得

    基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

    证明:设 a>b。

      1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

      2,ab!=0 时

      设 ax1+by1=gcd(a,b);

      bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

      根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

      则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

      即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

      根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

         这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

       上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

    代码实现:

    递归:

    int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        int r=exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
        return r;
    }
    非递归:

    int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
    {
        int x1,y1,x0,y0;
        x0=1; y0=0;
        x1=0; y1=1;
        x=0; y=1;
        int r=m%n;
        int q=(m-r)/n;
        while(r)
        {
            x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
            x0=x1; y0=y1;
            x1=x; y1=y;
            m=n; n=r; r=m%n;
            q=(m-r)/n;
        }
        return n;
    }

    扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

    (1)求解不定方程;

    (2)求解模线性方程(线性同余方程);

    (3)求解模的逆元;

    (1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:

      对于不定整数方程ax+by=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
      上面已经列出找一个整数解的方法,在找到a * x+ b * y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,a * x+ b * y = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
      x' = x0 + b/Gcd(a, b) * t 
      y'  = y0  - a/Gcd(a, b) * t (其中t为任意整数)  (也就是无数个解)

      至于ax+by=c的整数解,只需将a * x+ b * y = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。

      在找到a*x+ b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,应该是得到ax+by=c 的一组解为:

       x'' = x0*(c/Gcd(a,b)),

        y'' = y0*(c/Gcd(a,b))

      ax+by=c的其他整数解满足:

      x= x'' + b/Gcd(a, b) * t
      y= y''  - a/Gcd(a, b) *  t (其中t为任意整数)
      p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
      最小正整数解应该是设distance= b/Gcd(a, b) (x两个相邻解的最小距离)    
                           则xx=(x0%distance+distance)%distance  (当然x0改成x也是一样的,因为有取余,下面的模线性方程组同理)
     
    用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
    代码如下:
    int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  
    {  
        if(b==0)  
        {  
            x=1;  
            y=0;  
            return a;  
        }  
        int r=exgcd(b,a%b,x,y);  
        int t=x;  
        x=y;  
        y=t-a/b*y;  
        return r;  
    }  
      
    bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)  
    {  
        int d=exgcd(a,b,x,y); ///d是gcd(a,b);  
        if(c%d)  
            return false;  ///无解  
        int k=c/d;  
        x*=k; y*=k;        ///求得的只是其中一组解 也就是上面的x'',y''!!!  
        return true;  
    }  

    模线性方程组定理概述:

         定理一:设d = gcd(a, n), 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny', 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足:、

          x0 = x'(b / d)(mod n)

      定理二:假设方程ax = b(mod n)有解, x0是方程的任意一个解, 则方程对模n恰有d个不同的解, 分别为: xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1


    (2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:

        同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b(|表示整除)。且方程有解时,方程有gcd(a,n)个解。(这里由于规定同于方程组的解是同余类的个数,也就是在模m的一组完全剩余系中解的个数,术语有点多,还是有点懵!!!

        求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ny=b, (x, y为整数)

        设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d|b,则方程

        a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
        所以 x= x0* b/ d,

                y= y0* b/ d    为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax=b (mod n ) 的解。

        ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x*(b/d)mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+i*(n/d))mod n     {i= 0... d-1}。

        设s=n/d;

        方程ax≡b (mod n)的最小正整数解为:(x%s+s)%s;  其中x为ax+by=b的解

        相关证明:

        证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
        由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
             a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                     = b (mod n)

        证明方程有d个解: xi=x0+i*(n/d)  (mod n);
        由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                              = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                              = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                              = b

         

    首先看一个简单的例子:

    5x=4(mod3)

    解得x=2,5,8,11,14.......

    由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.

    那么这个解的间隔是怎么决定的呢?

    如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.

    我们设解之间的间隔为dx.

    那么有

    a*x = b(mod n);

    a*(x+dx) = b(mod n);

    两式相减,得到:

    a*dx(mod n)= 0;

    也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

    gcd(a,n)=d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

    即a*dx = a*n/d;

    所以dx = n/d.  (每个解之间的最小间隔)

    因此解之间的间隔就求出来了.

    代码如下:

    bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) ///求解模线性方程  
    {  
        int x,y,x0,i;  
        int d=exgcd(a,n,x,y);  
        if(b%d)  
            return false;  
        x0=x*(b/d)%n;   ///特解  这里解是取余的!  
        for(i=1;i<d;i++)  
            printf("%d
    ",(x0+i*(n/d))%n);  ///一共gcd(a,n)=d个解,除了x0外的其他解  
        return true;  
    }  


    (3)用欧几里德算法求模的逆元:

           同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。

          在这种情况下,如果 b== 1,也及时同余方程是 ax≡1 (mod n ),gcd(a,n)= 1的情况下。

          这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

          对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

          ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

    我们经常在做题时会看到这样一句话:由于答案较大,请输出答案mod m的结果。(其中m一般为一个大质数) 
    我们经常会使用以下几个等式: 

    (a+b)(amodm+bmodm)(modm)

    (ab)(amodmbmodm+m)(modm)(a>b)

    (a×b)(amodm×bmodm)(modm)

    但是很容易发现,这三个等式中并没有除法。 (其他取模运算详见here
    那我们怎样处理除法呢? 这里就要使用到逆元。

    我们定义若b×b1modc=1   ,则称b1为b模c的乘法逆元。 
    并且有 (a÷b)modc=(a×b1)modc。(其中a÷b为整除)

    (十一)高斯消元



    (十二)莫比乌斯



    (十三)线性同余







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