【算法总结】概率与期望相关

〖相关资料〗

《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》

〖相关题目〗

1.【bzoj1415】[NOI2005] 聪聪和可可

题意：在一个魔法森林里，住着一只聪明的小猫聪聪和一只可爱的小老鼠可可。整个森林可以认为是一个无向图，图中有N 个美丽的景点，景点从1 至N编号。在景点之间有一些路连接。可可正在景点M (M ≤ N)处。以后的每个时间单位，可可都会选择去相邻的景点（可能有多个）中的一个或停留在原景点不动。而去这些地方所发生的概率是相等的。聪聪是很聪明的，所以，当她在景点C 时，她会选一个更靠近可可的景点，如果这样的景点有多个，她会选一个标号最小的景点。如果走完第一步以后仍然没吃到可可，她还可以在本段时间内再向可可走近5一步。在每个时间单位，假设聪聪先走，可可后走。在某一时刻，若聪聪和可可位于同一个景点，则可可就被吃掉了。问平均情况下，聪聪几步就可能吃到可可。

分析：bfs预处理+概率dp。详见：汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m,u,v,cat,mouse,cnt,head,tail;
int first[N],ind[N],q[N],dis[N][N],p[N][N];
double f[N][N];
struct edge{int to,next;}e[N*2];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
void bfs(int S)
{
    head=tail=0;q[tail++]=S;
    p[S][S]=dis[S][S]=0;
    while(head!=tail)
    {
        u=q[head++];if(head>1000)head=0;
        for(int i=first[u];i;i=e[i].next)
        {
            v=e[i].to;
            if(dis[S][u]+1<dis[S][v]||(dis[S][u]+1==dis[S][v]&&p[S][u]<p[S][v]))
            {
                dis[S][v]=dis[S][u]+1;
                if(dis[S][v]<=1)p[S][v]=v;
                else p[S][v]=p[S][u];
                q[tail++]=v;if(tail>1000)tail=0;
            }
        }
    }
}
double dfs(int a,int b)
{
    if(f[a][b])return f[a][b];
    if(a==b)return f[a][b]=0;
    if(p[a][b]==b||p[p[a][b]][b]==b)return f[a][b]=1;
    double sum=dfs(p[p[a][b]][b],b);
    for(int i=first[b];i;i=e[i].next)
        sum+=dfs(p[p[a][b]][b],e[i].to);
    return f[a][b]=sum/(ind[b]+1)+1;
}
int main()
{
    memset(p,0x3f,sizeof(p));memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    n=read();m=read();cat=read();mouse=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        u=read(),v=read(),ind[u]++,ind[v]++,ins(u,v),ins(v,u);
    for(int i=1;i<=n;i++)bfs(i);
    printf("%.3lf",dfs(cat,mouse));
    return 0;
}

2.【bzoj1076】[SCOI2008]奖励关

题意：在奖励关里，系统依次随机抛出k次宝物，每次可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。宝物一共有n种，每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。获取第i种宝物将得到Pi分，但第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物。假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

分析：为了方便地判断状态是否合法，可以倒着枚举。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=16;
const int M=(1<<15)+10;
int m,n,x,mx,v[N],t[N],p[N];
double f[105][M];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    m=read();n=read();p[1]=1;mx=(1<<n)-1;
    for(int i=2;i<=n;i++)p[i]=p[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        v[i]=read();x=read();
        while(x)t[i]|=p[x],x=read();
    }
    for(int i=m;i>=1;i--)
        for(int j=0;j<=mx;j++)
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if((t[k]|j)==j)f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|p[k]]+v[k]);
                else f[i][j]+=f[i+1][j];
            f[i][j]/=n;
        }
    printf("%.6lf",f[1][0]);
    return 0;
}

3.【bzoj4318】OSU!

题意：见原题

分析：Clove_uniqueの博客

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n;
double p,f[N],g[N],h[N];
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&p);
        h[i]=p*(h[i-1]+1);
        g[i]=p*(g[i-1]+2*h[i-1]+1);
        f[i]=p*(f[i-1]+3*g[i-1]+3*h[i-1]+1)+(1-p)*f[i-1];
    }
    printf("%.1lf",f[n]);
    return 0;
}