超平面

• 直线、平面

  在说超平面之前，先说说 Rn 空间中的直线和平面。给定 Rn 空间中的一点 p 和一非负向量 v⃗ ，满足

  i=tv⃗ +p

  的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一条直线。上式中 t 是一个标量，向量 v⃗  决定了该直线的方向。如图1所示：

  

  图1：line figure illustration

  相对的，给定 Rn 空间中的一点 p和两个线性无关的向量 v⃗ ,w⃗ ，满足

  i=tv⃗ +sw⃗ +p

  的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一个平面。上式中 t,s 均是标量。如图2所示：

  

  图2：plane figure illustration

  更一般的，给定 Rn 空间中的一点 p和线性无关的向量 v1→,v2→,...,vk→，满足

  i=t1v1→+t2v2→+...+tkvk→+p

  的点 i 的集合称为 Rn 空间的一个k维仿射子空间（k-dimensional affine subspace）。因此，一条直线就是一个1维仿射子空间，一个平面就是一个2维仿射子空间。

• 直线的另一种表示

  假设 R2 空间中的点集 i=(x,y) 满足等式

  ax+by+d=0(1)

  其中 a,b,d 均为标量，并且 a,b 至少有一个不为0。假设 b 不为0，则

  y=−abx−db

  设 x=t,−∞<t<∞，则点集i可以表示为

  i=(x,y)=(t,−abt−db)=t(1,−ab)+(0,−db)

  这其实是一条经过点 (0,−db) 方向为 (1,−ab) 的直线L。

  进一步地，我们设 n⃗ =(a,b)，则(1)式可以表示为

  n⃗ ∗i+d=0(2)

  设取 p=(p1,p2) 为L上一点，代入上式可以得到 d=−n⃗ ∗p，则（2）式可以表示为

  n⃗ ∗(i−p)=0(3)

  可以看出，n⃗  实际是直线L的法向量，并且点集 i=(x,y) 是那些与 p 的差向量与 n⃗  正交的点。

• 超平面

  说了这么多，现在来给出超平面的定义：给定 Rn 空间中的一点 p 和一个非零向量 n⃗ 。满足

  n⃗ ∗(i−p)=0(4)

  的点集 i 称为经过点 p 的超平面。向量 n⃗  为该超平面的法向量。按照这个定义，一条直线是 R2 空间的超平面，一个平面是 R3 空间的超平面，Rn 空间的超平面是 Rn 空间 的一个n-1维仿射子空间。设 n⃗ =(a1,a2,...,an),i=(i1,i2,...,in)，则（4）式可以表示为

  a1i1+a2i2+...+anin+d=0(5)

  其中，d=−n⃗ ∗p

  很重要的一点是，利用一个超平面，我们可以将空间的点分为两部分（式（4）的值大于等于0或者小于0）。同时，利用式（4）我们可以方面的计算空间内一点到超平面的距离：设空间中一点 q，q 到超平面的距离即是 q−p 在向量 n⃗  上的投影，如图（3）所示。根据

   

  我们即可以求得 q 到超平面的距离。

  

  图3：q到超平面H的距离