2756: [SCOI2012]奇怪的游戏
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Description
Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。
这个游戏在一个 N*M 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次 Blinker 会选择两个相邻
的格子，并使这两个数都加上 1。
现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同
一个数则输出-1。
Input
输入的第一行是一个整数T，表示输入数据有T轮游戏组成。
每轮游戏的第一行有两个整数N和M， 分别代表棋盘的行数和列数。
接下来有N行，每行 M个数。
Output
对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。
Sample Input
2 2
1 2
2 3
3 3
1 2 3
2 3 4
4 3 2
Sample Output
-1
HINT
【数据范围】
对于30%的数据，保证 T<=10，1<=N,M<=8
对于100%的数据，保证 T<=10，1<=N,M<=40，所有数为正整数且小于1000000000
考虑末状态有所有数都相等的很好性质，所以设所有数的变为x。因为每次只会对相邻两个格子加1，所以奇偶分治后，两种格子的变化量相同。
所以可以列出方程
这里借用黄学长的博客
对棋盘进行黑白染色
设黑格个数为num1 数值和为sum1
设白格个数为num1 数值和为sum1
设最后都变为x
则
num1 * x – sum1 = num2 * x – sum2
x = (sum1 – sum2) / (num1 – num2)
然后分类讨论
当num1 ≠ num2时 可以解出 x 再用网络流check即可
对于num1 = num2时 可以发现 对于一个合法的x k>=x都是一个合法的解
因为num1 = num2 => (num1 + num2) % 2 == 0 可以构造一层的满覆盖
所以可以二分x 然后用网络流check
建图：
如果点k为白
建边(s, k, x – v[k])
如果为黑
建边(k, t, x – v[k])
对相邻点u、v (u为白)
建边 (u, v, inf)
方法：利用末状态性质，设未知数，列出方程。然后分类讨论，首先要满足方程才有解，然后可以二分答案，在check。其实如果都合法，可以直接二分末状态，然后check。方程讨论是因为解得情况在不同条件下不同。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 2020
#define maxm 8020
#define INF 100000000000000ll
typedef long long LL;
struct node{
int next,to;
LL f;
}e[maxm * 2];
int head[maxn],cnt = 1,src,sink;
int q[maxn],hh,tt,dis[maxn],cur[maxn];
int n,m,T,num1,num2,mx;
LL sum1,sum2,maxflow,x,ans;
int dt[maxn][maxn];
inline void adde(int x,int y,LL c){
e[++cnt].to = y;
e[cnt].next = head[x];
e[cnt].f = c;
head[x] = cnt;
e[++cnt].to = x;
e[cnt].next = head[y];
head[y] = cnt;
}
inline bool bfs(){
tt = hh = 0;
memset(dis,0,sizeof(dis));
q[tt++] = src , dis[src] = 1;
while ( hh < tt ){
int now = q[hh++];
for (int i = head[now] ; i ; i = e[i].next){
if ( e[i].f && !dis[e[i].to] ){
q[tt++] = e[i].to;
dis[e[i].to] = dis[now] + 1;
}
}
}
return dis[sink] > 0;
}
LL dfs(int now,LL delta){
if ( now == sink || !delta ) return delta;
LL ret = 0;
for (int &i = cur[now] ; i ; i = e[i].next){
if ( e[i].f && dis[now] + 1 == dis[e[i].to] ){
LL d = dfs(e[i].to,min(delta,e[i].f));
ret += d , delta -= d;
e[i].f -= d, e[i ^ 1].f += d;
if ( !delta ) return ret;
}
}
if ( delta ) dis[now] = -1;
return ret;
}
inline LL dinic(){
LL flow = 0;
while ( bfs() ){
for (int i = 1 ; i <= sink ; i++) cur[i] = head[i];
flow += dfs(src,INF);
}
return flow;
}
inline void init(LL x){
memset(head,0,sizeof(head));
memset(e,0,sizeof(e));
cnt = 1;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
for (int j = 1 ; j <= m ; j++){
if ( (i + j) & 1 ){
adde((i - 1) * m + j,sink,x - (LL)dt[i][j]);
}
else{
int now = (i - 1) * m + j;
adde(src,(i - 1) * m + j,x - (LL)dt[i][j]);
if ( i > 1 ) adde(now,now - m,INF);
if ( i < n ) adde(now,now + m,INF);
if ( j > 1 ) adde(now,now - 1,INF);
if ( j < m ) adde(now,now + 1,INF);
}
}
}
}
int main(){
freopen("input.txt","r",stdin);
scanf("%d",&T);
while ( T-- ){
ans = sum1 = sum2 = 0 , mx = num1 = num2 = 0;
scanf("%d %d",&n,&m);
src = n * m + 1 , sink = n * m + 2;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
for (int j = 1 ; j <= m ; j++){
scanf("%d",&dt[i][j]);
if ( (i + j) & 1 ) sum2 += (LL)dt[i][j] , num2++;
else sum1 += (LL)dt[i][j], num1++;
mx = max(dt[i][j],mx);
}
}
if ( num1 != num2 ){
if ( ((sum1 - sum2) % (LL)(num1 - num2)) != 0 ){
printf("-1
");
continue;
}
x = (sum1 - sum2) / (LL)(num1 - num2);
if ( x < mx ){
printf("-1
");
continue;
}
init(x);
maxflow = dinic();
if ( maxflow + sum1 == (LL)num1 * x ){
printf("%lld
",maxflow);
}
else printf("-1
");
}
else{
LL l = mx , r = INF;
//二分把当前的每个数都变成mid的情况
for (int i = 1 ; i <= 50 ; i++){
maxflow = 0;
LL mid = (l + r) >> 1;
init(mid);
maxflow = dinic();
if ( maxflow + sum1 == (LL) num1 * mid ){
ans = maxflow , r = mid;
}
else l = mid + 1;
}
if ( !ans ) printf("-1
");
else printf("%lld
",ans);
}
}
return 0;
}