钢条切割问题

突然发现，钢条切割竟然没有写。

假设公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i = 1, 2, ...单位：美元），下面给出了价格表样例：

长度i     1     2     3  4  5   6     7  8   9  10

价格Pi  1     5     8  9  10   17   17  20   24  30

切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使得销售收益Rn最大。

当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：

R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）

R2 = 5，切割方案2 = 2（无切割）

R3 = 8， 切割方案3 = 3（无切割）

R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2

R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3

R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）

R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3

R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6

R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6

R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）

更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1)

首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i

（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，

我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，

我们当然可以选择不做任何切割。

分析到这里，假设现在出售8英寸的钢条，应该怎么切割呢？

下面给出三种方法：

1、自顶向下；

2、带备忘的自顶向下

3、由底向上

其中由底向上最简单也最高效。大家可以尝试将钢管长度设大些，比较不同方法之间的运行速度差异。通过对比，可以加深对动态规划的思想的了解与记忆。

给出例子：对于自顶向下钢条收益按照上述要求，那么可以计算钢条长度在30以下。（效率很低）

对于带备忘的自顶向下，可以计算钢条长度在10000以内。

对于自底向上，可以计算钢条长度在30000以内。（上述范围仅供参考）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define min_num -100010
#define max_size 100010
int p[max_size];
int r[max_size];
using namespace std;
//****************自顶向下递归实现***************
double cut_rod(int p[],int n){
    if(n==0) return 0;
    double q=min_num;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q=max(q,p[i]+cut_rod(p,n-i));
    }
    return q;
}
//****************带备忘的自顶向下******************//
int memoized_cut_rod_aux(int p[],int n,int r[]){
    int q=0;
    if(r[n]>=0)
        return r[n];
    if(n==0)
        q=0;
    else q=min_num;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q=max(q,p[i]+memoized_cut_rod_aux(p,n-i,r));
    }
    r[n]=q;
    return q;
}

int memoized_cut_rod(int p[],int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        r[i]=min_num;
    }
    return memoized_cut_rod_aux(p,n,r);
}

//**********自底向上的算法******//
int bottom_up_cut_rod(int p[],int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        r[i]=0;
    }
    int q;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        q=min_num;
        for(int i=1;i<=j;i++){
            q=max(q,p[i]+r[j-i]);
        }
        r[j]=q;
    }
    return r[n];
}
//**********测试函数************//
int main(){
    int num;
    cout<<"请输入钢条收益num:"<<endl;
    cin>>num;
    for(int i=1;i<=num;i++){
            scanf("%d",&p[i]);
        }
    int n;
    cout<<"请输入钢条长度:
";
    while(~scanf("%d",&n)){
        //cout<<"最大收益是:"<<cut_rod(p,n)<<endl;//自顶向下的递归算法
        //cout<<"最大收益是:"<<memoized_cut_rod(p,n)<<endl;//带备忘的自顶向下
        cout<<"最大收益是:"<<bottom_up_cut_rod(p,n)<<endl;//自底向上的算法
        cout<<"请输入钢条长度:
";
    }
}