[zz]跳表(Skip List)的介绍以及查找插入删除等操作

目前经常使用的平衡数据结构有：B树，红黑树，AVL树，Splay Tree, Treep等。（典型用处，关联数据，即，hash map 或者 字典）

用跳表吧，跳表是一种随机化的数据结构，目前开源软件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，

它的效率和红黑树以及 AVL 树不相上下，但跳表的原理相当简单，只要你能熟练操作链表，

就能轻松实现一个 SkipList。

插入，搜寻元素的复杂度都为O(logn)

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今天有同学去面试，被问到了“跳表”这种数据结构，说实话我之前对它了解不多，于是上网查了跳表的资料，并在这里总结一下。

什么是跳表？要说清楚这个问题，我们就要先从普通的有序链表说起。一个普通有序列表的结构如下：

我们可以看到，上图所示的链表按照由小到大的顺序排列（-1表示最小值，1表示最大值，这是本文的一个约定），如果我们想要查找一个元素x，算法如下：

1 2 3

cell *p = head; while (p->next->key < x) p=p->next; return p;

上面这个算法得到了x元素的前驱或者所有大于x的元素中最小的一个元素。
基于上面这个链表，我们想要插入一个元素35的算法是：

1 2 3 4 5

p = find(35) cell *p1 = (cell *) malloc(sizeof(cell)); p1->key=35; p1->next = p->next ; p->next = p1 ;

想要删除元素37的算法是：

1 2 3 4

p=find(37); CELL *p1 =p->next; p->next = p1->next ; free(p1);

我想这些算法大家都应该是耳熟能详了，对于这样一个链表，查找、删除、插入一个元素的时间复杂度都是O(n)。

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好，下面我们正式开始介绍跳表。跳表是个概率性数据结构，可以被看作是二叉树的一个变种。跳表是由William Pugh在1990年发明的。它是一种用户维护有序元素的数据结构。

跳表的构造过程是：
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

一个跳表，应该具有以下特征：

1. 一个跳表应该有几个层（level）组成；
2. 跳表的第一层包含所有的元素；
3. 每一层都是一个有序的链表；
4. 如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
5. 第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
6. 在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
7. Top指针指向最高层的第一个元素。

让我们用一个跳表来重新构建文章开头的有序链表：

通过图我们可以看出，整个跳表分为三层，每一层都是一个有序链表，第一层包含所有的元素。top指针指向最高层的-1元素，较高层的元素都能在较低的层里找到，并且较高层的元素含有一个指针指向下一层值相同的元素。

上面的特征和图基本就给出了一个跳表的定义和结构。至于哪些元素应该再更高一层中保留，我们会在下面叙述。

在结构清晰之后，我们需要明白的是跳表为什么要这样设计？这么存储的好处是什么呢？让我们通过对跳表操作来寻找答案。

首先是查找操作。在跳表中查找一个元素x的算法如下：

1 2 3 4 5 6

p=top While(1){ while (p->next->key < x ) p=p->next; If (p->down == NULL ) return p->next p=p->down ; }

接着是插入算法。假设要插入一个元素“119”，我们设定需要插入该元素的层数为“k”（即我们需要在所有的[1,k]范围内的层里都插入元素。k的值我们会在下文中叙述），则插入算法是：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

int insert(val x){   int i; int j = n; //n是当前表所拥有的level数   cell *p[k]; //指针数组，用来保存每一层要插入元素的前驱   cell *p1; p1 = top->next;   while(p1){ while(p1->next->val < x) p1=p1->next; if(j <= k){ p[j-1] = p1; //保存每一层的指针 p1 = p1->down; //指向下一层 j--; } }   //下面的代码是将x插入到各层 for (i = 0; i<k; i++){ if(p[i]==NULL){//k>n的情况，需要创建一个层 //创建层的第一个元素，并将top指向它 cell *elementhead = (cell *) malloc(sizeof(cell)); element->val = -1; element->down = top; top = elementhead;   //创建最后一个元素 cell *elementtail = (cell *) malloc(sizeof(cell)); elementtail->val = 1; elementtail->next = elementtail->down = NULL;   //在该层中创建并插入x cell *element = (cell *) malloc(sizeof(cell)); element->val = x; elementhead->next = element; element->next = elementtail; element->down = p[i-1]->next; }   //正常插入一个元素 cell *element = (cell *) malloc(sizeof(cell)); element->val = x; element->next = p[i]->next; element->down = (i=0?NULL:(p[i-1]->next)); p[i]->next = element; }   return 0; }

最后是删除操作。删除一个元素x，如果x被删除后某层只剩下头尾两个节点，则删除这一层。具体算法如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

int delete(val x){   int i = n; //n表示当前总层数 cell *p, *p1; p = top;   while(n>0){ while(p->next->val < x) p=p->next; if(p->next->val == x){//假如当前层存在节点x,删除 if(p = top && p->next->next->val == INT_MAX){//该层之存在一个节点 top = p->down; free(p->next->next); free(p->next); free(p); p = top; } else{ p1 = p->next; p->next = p1->next; free(p1); } } p = p->down; n--; } }

好了，我们可以看到，无论查找、插入、删除，跳表的时间复杂度都是O(lgn)！这就是为什么我们要引入跳表。

最后，让我们来阐述哪些元素应该在上一层保留，以及插入操作时确定插入元素的层数k。
哪些元素应该在高层保留，是随机决定的。具体算法如下：

• 我们假定一个函数rand()，随机返回1或者0
• 假设元素i最多在第k层保留
• k的值由程式“ while(rand()) k++;”来决定

看明白了么？也就是从第一层随机选出一些元素放到第二层，再从第二层随机选出元素放到第三层，以此类推，知道没有元素再被选出。插入操作时被插入元素的层数也是这么得来的。