向量旋转专题

二维向量旋转

知识点参考：  http://www.cnblogs.com/woodfish1988/archive/2007/09/10/888439.html

x1= x * cos(θ) - y * sin(θ)

y1= x * sin(θ) + y *cos(θ)

 求平面上任意点 绕任意点p(x,y)旋转 角度 sita 后的坐标矩阵

hdu 1700  Points on Cycle

 题意：已知圆上一点， 求另外两点， 使得三角形周长最大， 则该三角形为等边三角形， 直接将 一点 顺时和 逆时针 旋转120  得到另外两点， 即可。

代码如下：

using namespace std ;
const double pi= acos(-1);
#define arc(x) (x / 180 * pi)
typedef long long LL ;
const double EPS = 0.0005;
struct Point {
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double x, double y):x(x),y(y){}
    Point rot( double sita){
        return Point( x * cos(sita) - y*sin(sita) , x* sin(sita) + y * cos(sita)  );
    }
};
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    Point p0, p1, p2;
    while(t--){
        scanf("%lf%lf",&p0.x,&p0.y);
        p1=p0.rot( arc(120.0) );
        p2=p0.rot( arc(-120.0) );
        if( p1.y - p2.y > EPS )
            swap(p1,p2);
        else if( (fabs(p1.y - p2.y) < EPS)  &&  (p1.x - p2.x > EPS) )
            swap(p1,p2);
        printf("%.3lf %.3lf %.3lf %.3lf
",p1.x, p1.y, p2.x, p2.y);
    }
    return 0;
}

 

hdu 1033  Edge

题目来源：  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1033

分析：求点绕任意点（x,y）旋转角度90（-90）后的坐标。

模板题

double mat[3][3];
// 绕任一点（x，y）旋转角度sita 其中 c = cos(sita)  s = sin(sita)
void Get_mat(double c, double s, double x, double y){
    mat[0][0] = c; mat[0][1] = -s ; mat[0][2] = (1 - c) * x + s * y ;
    mat[1][0] = s; mat[1][1] = c ; mat[1][2] = (1 - c) * y - s * x;
    mat[2][0] = mat[2][1] = 0; mat[2][2] = 1;
}

代码如下：

using namespace std ;
const double pi= acos(-1.0);
#define arc(x) (x / 180 * pi)
const double EPS = 1e-8;
const int Max_N = 35;
double mat[3][3];
// 绕过原点和（x，y，z）的轴，转 a 角度的 旋转矩阵，注意传的点向量为单位向量，a为弧度
void Get_mat(double c, double s, double x, double y){
    mat[0][0] = c; mat[0][1] = -s ; mat[0][2] = (1 - c) * x + s * y ;
    mat[1][0] = s; mat[1][1] = c ; mat[1][2] = (1 - c) * y - s * x;
    mat[2][0] = mat[2][1] = 0; mat[2][2] = 1;
}
int main(){
   string s;
   int st[3],ed[3],tmp[3];
   while(cin>>s){
        st[0] = 300, st[1] = 420, st[2] = 1 ;
        ed[0] = 310, ed[1] = 420, ed[2] = 1 ;
        int len=s.length();
        printf("300 420 moveto
310 420 lineto
");
        for(int i=0; i<len ;i++){
            if(s[i] == 'A') // 顺时针，其实代入的是逆时针
                Get_mat(0, 1, ed[0],ed[1]);
            else // 逆时针，其实代入的是 顺时针
                Get_mat(0, -1, ed[0],ed[1]);
            tmp[0] = mat[0][0]*st[0] + mat[0][1] * st[1] + mat[0][2] * st[2];
            tmp[1] = mat[1][0]*st[0] + mat[1][1] * st[1] + mat[1][2] * st[2];
            tmp[2] =1;
            for(int i=0; i<3; i++){
                swap(st[i],ed[i]);
                swap(tmp[i],ed[i]);
            }
            printf("%d %d lineto
",ed[0],ed[1]);
        }
        printf("stroke
showpage
");
   }
    return 0;
}

三维向量旋转。

左手坐标系下，一点绕任意轴旋转θ角的右乘矩阵：

其中C为cosθ，S为sinθ，A为单位化的旋转轴。

推导过程 请 参照    http://blog.csdn.net/tan625747/article/details/5523728

hdu 2898   旋转

题目来源：     http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2898

求空间中一个点绕一穿过原点的轴线旋转一定角度后的坐标，沿着旋转轴往原点看旋转的角度为顺时针。

 沿着旋转轴往原点看旋转的角度为顺时针，模板

double mat[3][3];
// 绕过原点和（x，y，z）的轴，转 a 角度的 旋转矩阵，注意传的点向量为单位向量，a为弧度
void Get_mat(double x,double y,double z, double a){
    double c=cos(a);
    double s=sin(a);
    double xy = x*y, xz = x*z, yz = y*z, xx = x*x, yy = y*y , zz = z*z ;
    mat[0][0] = xx + (1 - xx) * c; mat[0][1] = xy * (1-c) - z * s; mat[0][2] = xz * (1-c) + y * s;
    mat[1][0] = xy * (1 - c) + z * s; mat[1][1] = yy + (1 - yy) * c; mat[1][2] = yz * (1-c) -x * s ;
    mat[2][0] = xz * (1 - c) - y * s; mat[2][1] = yz * (1-c) + x * s; mat[2][2] = zz + (1 - zz) * c;
}

 代码如下：

using namespace std ;
const double pi= acos(-1);
#define arc(x) (x / 180 * pi)
const double EPS = 1e-8;
const int Max_N = 35;
double mat[3][3];
// 绕过原点和（x，y，z）的轴，转 a 角度的 旋转矩阵，注意传的点向量为单位向量，a为弧度
void Get_mat(double x,double y,double z, double a){
    double c=cos(a);
    double s=sin(a);
    double xy = x*y, xz = x*z, yz = y*z, xx = x*x, yy = y*y , zz = z*z ;
    mat[0][0] = xx + (1 - xx) * c; mat[0][1] = xy * (1-c) - z * s; mat[0][2] = xz * (1-c) + y * s;
    mat[1][0] = xy * (1 - c) + z * s; mat[1][1] = yy + (1 - yy) * c; mat[1][2] = yz * (1-c) -x * s ;
    mat[2][0] = xz * (1 - c) - y * s; mat[2][1] = yz * (1-c) + x * s; mat[2][2] = zz + (1 - zz) * c;
}
int main(){
    double px[3];
    double py[3];
    double x,y,z;
    double a;
    while(scanf("%lf%lf%lf", &px[0], &px[1], &px[2]  ) != EOF){
        memset(py,0,sizeof(py));
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y, &z, &a);
        double len = sqrt(x * x + y * y +z *z) ;
        Get_mat(x / len, y / len, z / len, a);
        for(int i=0; i<3; i++){
            for(int j=0; j<3; j++){
                py[i] += mat[i][j]*px[j];
            }
        }
        printf("%.3lf %.3lf %.3lf
",py[0],py[1],py[2]);

    }
    return 0;
}

hit   Cubic Rotation

题目来源：     http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16

The ACM/ICPC Asia Harbin Online First Round Contest 2010

分析： 求 正方体 绕 任意轴 p1p2 向量， 旋转 sita 角度后 ， 在 平面 xoy 平面上的 投影面积。 （旋转 + 凸包面积）。

由于是 任意轴 ，故在 代入 旋转公式前， 先平移（-p1）向量， 再 代入旋转公式， 再 逆平移（p1）;

注意， 题中 案例 2 ，中的 275 应改成 270， 这题 做了 ，显然 却不能提交。

代码如下：

using namespace std ;
const double pi= acos(-1.0);
#define arc(x) (x / 180 * pi)
const double EPS = 1e-8;
double mat[3][3];
// 绕过原点和（x,y,z ）的轴，转a 角度的旋转矩阵，注意传入的点向量为单位向量， a 为弧度
void Get_mat(double x, double y, double z, double a){
    double c = cos(a);
    double s = sin(a);
    double xy = x*y, xz = x*z, yz = y*z, xx = x*x, yy = y*y, zz = z*z;
    mat[0][0] = xx + (1-xx)* c; mat[0][1] = xy * (1 - c) - z* s; mat[0][2] = xz * (1 - c) + y * s;
    mat[1][0] = xy * (1 - c) + z * s; mat[1][1] = yy + (1 - yy) *c; mat[1][2] = yz * (1- c) - x * s;
    mat[2][0] = xz * (1 - c) - y * s; mat[2][1] = yz * (1 - c) + x * s; mat[2][2] = zz + (1 - zz) * c;
}
int len ;
double dir[8][3] = { {0, 0 ,0}, {1, 0, 0}, {1, 0, 1}, {0, 0, 1},
                     {0, 1, 0}, {1, 1, 0}, {1, 1, 1}, {0, 1, 1}};
struct Point{
    double x,y,z;
    Point(){}
    Point(double x, double y, double z):x(x),y(y),z(z){}
    Point operator + (Point p){
        return Point( x + p.x , y + p.y, z + p.z);
    }
    Point operator - (Point p){
        return Point( x - p.x , y - p.y, z - p.z);
    }
};
Point cub[10],p1,p2,tmp[10];
// 求凸包以及凸包形成的面积
double add(double a, double b){
    if(fabs(a+b) < EPS * (fabs(a) + fabs(b)) ) return 0;
    return a+b;
}
struct tubao{
    double x,y;
    tubao(){}
    tubao(double x, double y):x(x),y(y){}
    double operator ^(tubao p){
        return add(x*p.y ,-y*p.x );
    }
};
//p0p1 * p0p2 > 0 左转
double xmult(tubao p1, tubao p2, tubao p0){
    return add( (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y), -(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x) );
}
tubao List[10];
int top;
tubao qs[10];
bool operator < (tubao a, tubao b){
    if(a.y != b.y) return a.y < b.y;
    else return a.x < b.x;
}
double graham(int n){
    sort(List, List + n);
    double sum=0;
    if(n == 0 || n == 1) return 0;
    qs[0] = List[0];
    qs[1] = List[1];
    top =1;
    for(int i=2; i<n; i++){
        while(top>= 1 && xmult(qs[top], List[i] , qs[top - 1]) <= 0)
            top --;
        qs[++top] = List[i];
    }
    qs[++top] = List[n-2];
    int le = top;
    for(int i=n-3; i>= 0; i--){
        while(top >= le && xmult(qs[top], List[i], qs[top - 1]) <= 0)
            top--;
        qs[++top] = List[i];
    }
    for(int i=0; i<top ; i++)
        sum += qs[i] ^ qs[i+1];
    sum /= 2;
    return sum;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int i;
        double sita;
        double p[3];
        scanf("%d%lf%lf%lf",&len,&p[0],&p[1],&p[2]);
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&p1.x, &p1.y, &p1.z,&p2.x, &p2.y, &p2.z,&sita);
        for(i=0; i<8; i++){
            cub[i].x = p[0] + len*dir[i][0];
            cub[i].y = p[1] + len*dir[i][1];
            cub[i].z = p[2] + len*dir[i][2];
        }
        //先平移 （ -p1）
        p2 = p2 - p1;
        for(i = 0; i<8; i++)
            cub[i] = cub[i] - p1;
        // 处理后准备旋转
        double unit = sqrt(p2.x * p2.x + p2.y * p2.y + p2.z * p2.z);
        Get_mat(p2.x / unit, p2.y / unit , p2.z / unit, arc(sita));
        for(i=0; i<8 ;i++){
            tmp[i].x = mat[0][0]*cub[i].x + mat[0][1]*cub[i].y + mat[0][2] * cub[i].z;
            tmp[i].y = mat[1][0]*cub[i].x + mat[1][1]*cub[i].y + mat[1][2] * cub[i].z;
            tmp[i].z = mat[2][0]*cub[i].x + mat[2][1]*cub[i].y + mat[2][2] * cub[i].z;
        }
        // 反平移（p1）
        for(i = 0; i<8; i++)
            cub[i] = tmp[i] + p1;
        for(i=0; i<8 ; i++){
            List[i].x = cub[i].x;
            List[i].y = cub[i].y;
        }
        printf("%.2lf
", graham(8));
    }
    return 0;
}

2014年携程决赛   飞机的碎片

题目来源：  http://acm.hdu.edu.cn/diy/contest_showproblem.php?cid=23086&pid=1002

Problem Description

一架飞机不幸在某海洋上失事，海面上漂浮着一架飞机的一些碎片……
幸好有卫星把这些碎片拍下来了，可以大致让我们确定一块搜索的区域来确定失事飞机的位置。
为了更好地进行搜救，节约成本，需要在海上划出一块周长尽可能小的区域进行巡逻式的搜救。但是由于技术问题，巡逻的区域只能是矩形。现给出这些碎片的相对位置，请告知这块巡逻区域的周长（请务必保留小数点后6位数字）
由于雷达扫描到的碎片相对于广阔的海洋实在太小，可以用极小的点来代替它。

Input

输入包含多组测试用例，每组测试用例的第一行包含一个整数N(3≤N≤10 000)，表示碎片在海洋里的数量，接下去N行中的每行都有两个整数Xi和Yi（0 ≤ Xi, Yi ≤ 10 000），表示碎片的坐标。每个碎片的坐标都不同，并且所有的碎片都不在同一直线上。

Output

每一个测试用例，输出一行包含一个实数，一个矩形区域的最小周长。注意矩形的边缘不需要与坐标轴平行。

Sample Input

3
0 0
1 0
0 1

Sample Output

4.000000

Source

CodingTrip - 携程编程大赛 （决赛）

分析：

1： 最小包围盒。 题意是求把所有点包含在内的最小矩阵的周长。

2：我们先求所有点构成的凸包， 最小矩阵一定过凸包的某一条边。 如果边 平行于 x轴， 取 最左边点和最右边点 和 y轴方向最远的点， 如果 边 平行于 y 轴， 取 最上和最下的点 和 x轴最远的点，  如果 边 不平行于 轴， 则 对 凸包进行旋转，（平面上绕任意点 进行的旋转矩阵） 使边 平行于 x 轴， 进行同样的处理。求最小值。

代码如下：

const double pi= acos(-1.0);
#define arc(x) (x / 180 * pi)
const double EPS = 1e-8;
const int Max_N  = 10005;
const double inf = 0xfffffff;
// 求凸包以及凸包形成的面积
double add(double a, double b){
    if(fabs(a+b) < EPS * (fabs(a) + fabs(b)) ) return 0;
    return a+b;
}
struct Point{
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double x, double y):x(x),y(y){}
    double operator ^(Point p){
        return add(x*p.y ,-y*p.x );
    }
    double dist(Point p){
        return sqrt( add( (x- p.x)*(x - p.x) ,(y - p.y)*(y - p.y) ) ) ;
    }
};
//p0p1 * p0p2 > 0 左转
double xmult(Point p1, Point p2, Point p0){
    return add( (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y), -(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x) );
}
Point List[Max_N];
int top,n;
Point qs[Max_N];
Point tmp[Max_N];
bool operator < (Point a, Point b){
    if(a.y != b.y) return a.y < b.y;
    else return a.x < b.x;
}
double graham(){ // qs[0] = qs[top] = 原点。
    sort(List, List + n);
    if(n == 0 || n == 1) return 0;
    qs[0] = List[0];
    qs[1] = List[1];
    top =1;
    for(int i=2; i<n; i++){
        while(top>= 1 && xmult(qs[top], List[i] , qs[top - 1]) <= 0)
            top --;
        qs[++top] = List[i];
    }
    qs[++top] = List[n-2];
    int le = top;
    for(int i=n-3; i>= 0; i--){
        while(top >= le && xmult(qs[top], List[i], qs[top - 1]) <= 0)
            top--;
        qs[++top] = List[i];
    }
}
// 平面上 绕 任意点 逆时针旋转 角度 sita(弧度) 矩阵
double mat[3][3];
void Get_mat(double x, double y , double sita){
    double c = cos(sita);
    double s = sin(sita);
    mat[0][0] = c; mat[0][1] = -s; mat[0][2] = (1 - c) * x + s * y ;
    mat[1][0] = s; mat[1][1] = c; mat[1][2] = (1 - c) * y - s * x;
    mat[2][0] =mat[2][1] = 0; mat[2][2] = 1;
 }
int main(){
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        int i,k,j,h;
        double changy,kuanx;
        double Min = inf;
        for(i=0; i<n; i++)
            scanf("%lf%lf",&List[i].x, &List[i].y);
        graham();
        for(i=0; i<top; i++) // 遍历每一条边
        {
            if(qs[i].x == qs[i+1].x){
                for(k=j=0; j<top; j++) // 最大的y
                    k = qs[k].y > qs[j].y ? k : j;
                changy = qs[k].y - qs[0].y;
                k=i;
                for( j = 0; j<top ; j++ ) // 距离最大的x横距
                    k = fabs(qs[j].x-qs[i].x) > fabs(qs[k].x - qs[i].x) ? j : k;
                kuanx = fabs( qs[k].x - qs[i].x ) ;
                Min = min(2*(changy + kuanx), Min );
                continue;
            }
            else if(qs[i].y == qs[i+1].y){
                // 最小的x， 最大的x
                for(h=k=j=0; j<top ; j++){
                    k = qs[k].x > qs[j].x ? k : j ;
                    h = qs[h].x < qs[j].x ? h : j ;
                }
                kuanx = qs[k].x - qs[h].x ;
                //距离最大的y 纵距
                for(k=j =0 ; j<top; j++)
                    k = fabs(qs[j].y-qs[i].y) > fabs(qs[k].y - qs[i].y) ? j : k;
                changy = fabs( qs[k].y - qs[i].y ) ;
                Min = min(2*(changy + kuanx), Min );
                continue;
            }
            else {
                double sita = -atan2 ( (qs[i+1].y - qs[i].y) , (qs[i+1].x -qs[i].x ) );
               double sss=sita / pi * 180;
                Get_mat(qs[i].x , qs[i].y , sita);
                for(j=0; j<top; j++){
                    if(j != i){
                    tmp[j].x = mat[0][0] * qs[j].x + mat[0][1] * qs[j].y + mat[0][2];
                    tmp[j].y = mat[1][0] * qs[j].x + mat[1][1] * qs[j].y + mat[1][2];}
                    else {
                        tmp[j].x = qs[i].x;
                        tmp[j].y = qs[i].y;
                    }
                }
                 // 最小的x， 最大的x
                for(h=k=j=0; j<top ; j++){
                    k = tmp[k].x > tmp[j].x ? k : j ;
                    h = tmp[h].x < tmp[j].x ? h : j ;
                }
                kuanx = tmp[k].x - tmp[h].x ;
                //距离最大的y 纵距
                for(k=j =0 ; j<top; j++)
                    k = fabs(tmp[j].y-tmp[i].y) > fabs(tmp[k].y - tmp[i].y) ? j : k;
                changy = fabs( tmp[k].y - tmp[i].y ) ;
                Min = min(2*(changy + kuanx), Min );
                continue;
            }
        }
        printf("%.6lf
", Min);
    }
    return 0;
}