简介
用途：多项式点值表达->多项式系数表达
思路如下：
若(n)次（最高次为(n-1)）多项式(f(x))的点值表达是：
(((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)))
其中(y_i=f(x_i))。
我们的目的是寻找一个系数表达的(n)次多项式(L_n(x))，使得对于任意的(i)都有(L_n(x_i)=y_i)。
这时有一个想法，设计一个函数(l_i(x))，使得(x=x_i)时，(l_i(x)=1)，否则(l_i(x)=0)。这样的话(L_n(x))就可以写成如下形式了：
[L_n(x)=sum_{i=1}^{n}y_il_i(x)
]
(l_i(x))具体怎么设计呢？直接写结论：
[l_i(x)=prod_{j=1,j≠i}^{n}frac{x-x_j}{x_i-x_j}
]
可以发现：
- 若代入(x=x_i)，则连乘的每一项都为(1)，于是(l_i(x)=1)
- 若代入(x=x_j,j≠i)，则连乘中必有一项为(0)，于是(l_i(x)=0)
而这个(l_i(x))又刚好是由(n-1)个一次多项式连乘得到的，其必定为(n)次多项式。所以最终得到的(L_n(x))也是(n)次多项式。
总的表达式：
[L_n(x)=sum_{i=1}^{n}y_iprod_{j=1,j≠i}^{n}frac{x-x_j}{x_i-x_j}
]