二分练习题5 二分法求函数的零点 题解

有函数：(f(x) = x^3 + 6.375 imes x^2 + 3 imes x - 26)
已知 (f(1.0) lt 0, f(2.0) gt 0) 且方程 (f(x) = 0) 在区间 ([1.0, 2.0]) 有且只有一个根，请用二分法求出该根。

输入格式

无。

输出格式

输出该方程在区间 ([1.0, 2.0]) 中的根。要求四舍五入到小数点后 (3) 位。

样例输入

无。

样例输出

不提供。

题目分析

本题涉及算法：二分。
我们之前都使用的是整数的二分，而这道题目使用的是实数之间的二分，所以在细节处理中和整数的二分稍有区别，但是万变不离其宗，我们只需要知道了这道题目的二分思想，那么解决这道题目就会变的很轻松。
题目已经告诉我们 (f(1.0) lt 0 , f(2,0) gt 0) ，而我们的函数图像是连续的，所以在区间 ([1.0 , 2.0]) 之间一定存在一个可行的解 (x_0) 满足 (f(x_0) = 0) ，然后我们就可以二分了。
我们一开始令 (L = 1.0) ，令 (R = 2.0) （注意这里的 (L) 和 (R) 都是实数）。
然后我们循环到 (R - L lt 10^{-5}) 在这种情况下我们能够保证循环结束时的 (L) 和 (R) 保留三位小数的结果是相同的。
然后我们每次取 (mid = (L+R)/2) ，会有两种情况：

• 情况1：(f(mid) gt 0) ，这种情况下说明答案在 区间 ([mid, R]) 中，所以我们令 (L = mid)；
• 情况2：(f(mid) le 0) ，其实在 (f(mid) = 0) 时我们是直接可以退出循环了，但是为了和情况1进行相同的处理，我们令 (R= mid) 。

这样循环处理，我们能保证循环结束时 (L) 和 (R) 的前 (4) 位小数相差不超过 (10^{-5})，那么这个时候选择 (L) 或者 (R) 并保留两位有效数组的结果就是我们的答案。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double f(double x) {
    return x*x*x + 6.375*x*x + 3.0*x - 26.0;
}
int main() {
    double L = 1.0, R = 2.0;
    while (R - L >= 1e-5) { // 1e-4是科学计数法，表示1乘10的-4次方
        double mid = (L + R) / 2.0;
        if (f(mid) > 0.0) R = mid;
        else L = mid;
    }
    printf("%.3lf
", R); // 因为R-L<=1e-4，所以这个时候输出L和R都一样
    return 0;
}