第二十四个知识点：描述一个二进制m组的滑动窗口指数算法
简单回顾一下我们知道的。
大量的密码学算法的大数是基于指数问题的安全性，例如RSA或者DH算法。因此，现代密码学需要大指数模幂算法的有效实现。我们应该从一个简化的方案开始思考：计算(x^amod N)，我们可以用指数算法来求(x^a)，然后再约减到(N)。然而，对大多数密码算法来说，(x^a)都是非常大的。现在，大多数传统的方法能被简单的在每个阶段模(N)。这回产生一些改进的技术。下面我会介绍一些计算(X^E mod N)可能的方法。
二进制算法
二进制模幂算法和传统的求幂的二次方方法非常像。实际上，唯一的不同就是我们把(N)表示成二进制形式然后计算。我们从左向右计算或者从右向左计算。
m-ary
m-ary方法也相似，但是它把指数看成位序列，然后把它们堪称(M = 2^m)的元素。实际上，二进制方法被认为是一种m-ary方法在(M = 2)时刻的情况。那么它如何工作呢？首先我们对所有的(X^i)，其中(i = 1)到(2^m-1)，计算一个查找表。然后我们通过基于(M)的指数(E)的算法。然后我们每次计算的值只是才表中查找而不是移动m位。
这个方法和二进制算法进行比较，意味着我们能提前计算很多东西，然后做更少的乘法。
滑动窗口
因此，m-ary窗口会约减我们计算乘法的次数，但是我们可以做的更好吗？答案是对的。假设我们令(m = 4)，同时(E = 22 = (0,0,0,1,0,1,1,0)_2 = (1,6)_{2^4})。然后我们用4-ary算法，但是如果我们重新规定窗口大小的话，我们能做的更好：这里只有三个1，但是我们却用一个4-ary的算法。如果我们提前知道，我们就可以用我们的查找表来计算了，同时只需要一次查找。因此滑动窗口的话，我们首先对(E)做一个变换成(E = sum x_i2^i)。这里让(x_i)尽可能是0。这回导致更多的预先运算，但是同时也提升了具体运算的效率。