SPOJ-7001 VLATTICE 莫比乌斯反演定理

　　题目链接：http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/

　　题意：求gcd(x,y,z)=1,1<=x,y,z<=n,的个数。

　　开始做的时候枚举gcd(x,y)，然后求z与gcd(x,y)互素的个数个数，O(n*sqrt(n))赌赌RP，然后TLE了。。。

　　后来才知道要用到莫比乌斯反演定理：　　

　　　　已知 f(n) = sigma(d|n, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(d|n, mu(d)*f(n/d))

　　还有另一种形式更常用：

　　　　在某一范围内，已知 f(n) = sigma(n|d, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))

　　这个题目用到了第二种形式，设g(n)为gcd(x,y,z)=n的个数，f(n)为n | g(i*n)的个数，那么有f(n)=sigma(n|d,g(d))，那么g(n)=sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))，我们要求g(1)，则g(1)=sigma(n|d, mu(d)*f(d))，其中mu(n)是莫比乌斯函数：

　　　　　　　　　　　　

　　上面的公式忘打括号了，(-1)^k...

　　因为f(d)=(n/d)*(n/d)*(n/d)，所以g(1)=sigma( mu(d)*(n/d)*(n/d)*(n/d) ).

　　然后用线性筛法在O(n)的时间内求出mu(n)就可以了。。

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#include <functional>
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//#include <ext/rope>
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using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
//using namespace __gnu_cxx;
//define
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1.0)
//typedef
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
//const
const int N=1000010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=100000,STA=8000010;
const LL LNF=1LL<<60;
const double EPS=1e-8;
const double OO=1e15;
const int dx[4]={-1,0,1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//Daily Use ...
inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
//End
int isprime[N],mu[N],prime[N];
int cnt;
void Mobius(int n)
{
    int i,j;
    //Init phi[N],prime[N],全局变量初始为0
    cnt=0;mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;  //prime[i]=1;为素数表
            mu[i]=-1;
        }
        for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {mu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
}

int T,n;

int main(){
 //   freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j,t;
    LL ans;
    Mobius(1000000);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ans=3;
        for(i=1;i<=n;i++)ans+=(LL)mu[i]*(n/i)*(n/i)*((n/i)+3);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}