• UOJ#395. 【NOI2018】你的名字 字符串,SAM,线段树合并


    原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ395.html

    题解

    记得同步赛的时候这题我爆0了,最暴力的暴力都没调出来。

    首先我们看看 68 分怎么做

    ——求两个串的本质不同的公共子串个数。

      它是一个模板题,然而我当时并不会,甚至连SAM都忘了怎么写QAQ。

    再简化一下:如何求一个串的本质不同的子串个数。

      给串建一个SAM,把所有节点代表的字符串个数(也就是 Max(x) - Max(fa(x)) 加起来就好了。

    回到上一个问题。

    假设这两个串分别是 S,T 。对 T 建个SAM。

    对于T的SAM,考虑对于它的任何一个节点 x ,算出 x 的 Right 集合代表的所有前缀与 S 的所有前缀的 LCS 的最大值(也就是这个节点代表的状态能在 S 上匹配的最长长度),设为 val(x)。然后对于所有 x 把 $(1,val(x)] cap (Max(fa(x)),Max(x)]$ 的长度加起来就好了。

    那么如何求那个最长的匹配长度?对 S 建一个 SAM,然后用 T 在 S 的 SAM 上走一遍,找到 T 的每一个前缀的 最长的是 S 的子串的后缀  然后 T 的 SAM 上的一个节点的 val 就是他在 parent 树上的所有后代节点的 Max 。

    由于 S 的 SAM 可以预先建好,所以询问一个 T 串的复杂度是 $O(|T|)$ 的。

    那么 S 有 [L,R] 的限制呢?

    线段树合并预处理一下 S 的 SAM 的每一个节点的 Right 集合。

    修改一下求最长的匹配长度的过程,保证走转移边的时候在 [L,R] 中有匹配。

    注意这里有一个易错点:我们匹配失败跳 father 的时候,不能直接 len' = Max(father) ,只能不断减一。原因是在 len 不断减一的过程中可能会找到匹配,而直接跳 father 会漏过这个匹配。然而出题人数据出的很水,没注意到这个东西还是有96分!

    至此,我们得到了一个 $O((|S|+sum |T|)log |S|)$ 的做法。

    但是,由于在 SAM 上遍历节点暴力跳祖先的复杂度是 $O(nsqrt n)$ 的,然后加个线段树合并多个 $log$ ,总复杂度 $O(nsqrt n log  n)$ 的可以通过原题数据……wft??(UOJ Hack数据过不去的)

    代码

    #include <bits/stdc++.h>
    #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    LL read(){
    	LL x=0,f=0;
    	char ch=getchar();
    	while (!isdigit(ch))
    		f|=ch=='-',ch=getchar();
    	while (isdigit(ch))
    		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    	return f?-x:x;
    }
    const int N=500005*4;
    int n,m,q;
    char s[N];
    struct Node{
    	int Next[26],fa,Max,pos;
    };
    namespace Seg{
    	const int S=N*35;
    	int ls[S],rs[S],cnt=0;
    	void Ins(int &rt,int L,int R,int x){
    		if (!rt)
    			rt=++cnt;
    		if (L==R)
    			return;
    		int mid=(L+R)>>1;
    		if (x<=mid)
    			Ins(ls[rt],L,mid,x);
    		else
    			Ins(rs[rt],mid+1,R,x);
    	}
    	int Merge(int a,int b,int L,int R){
    		if (!a||!b)
    			return a+b;
    		int rt=++cnt;
    		if (L<R){
    			int mid=(L+R)>>1;
    			ls[rt]=Merge(ls[a],ls[b],L,mid);
    			rs[rt]=Merge(rs[a],rs[b],mid+1,R);
    		}
    		return rt;
    	}
    	int Query(int rt,int L,int R,int xL,int xR){
    		if (!rt||R<xL||L>xR||xL>xR)
    			return 0;
    		if (xL<=L&&R<=xR)
    			return 1;
    		int mid=(L+R)>>1;
    		return Query(ls[rt],L,mid,xL,xR)
    			  |Query(rs[rt],mid+1,R,xL,xR);
    	}
    }
    namespace SAM{
    	Node t[N];
    	int root,last,size;
    	int rt[N],id[N];
    	void Init(){
    		while (size){
    			clr(t[size].Next);
    			t[size].fa=t[size].Max=t[size].pos=rt[size]=0;
    			size--;
    		}
    		root=last=size=1;
    	}
    	void extend(int c,int ps){
    		int p=last,np=++size,q,nq;
    		t[np].Max=t[p].Max+1,t[np].pos=ps;
    		Seg::Ins(rt[np],1,n,ps);
    		for (;p&&!t[p].Next[c];p=t[p].fa)
    			t[p].Next[c]=np;
    		if (!p)
    			t[np].fa=1;
    		else {
    			q=t[p].Next[c];
    			if (t[p].Max+1==t[q].Max)
    				t[np].fa=q;
    			else {
    				nq=++size;
    				t[nq]=t[q],t[nq].Max=t[p].Max+1,t[nq].pos=ps;
    				t[np].fa=t[q].fa=nq;
    				for (;p&&t[p].Next[c]==q;p=t[p].fa)
    					t[p].Next[c]=nq;
    			}
    		}
    		last=np;
    	}
    	void Sort(){
    		static int tax[N];
    		for (int i=0;i<=size;i++)
    			tax[i]=0;
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			tax[t[i].Max]++;
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			tax[i]+=tax[i-1];
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			id[tax[t[i].Max]--]=i;
    	}
    	void build(){
    		Sort();
    		for (int i=size;i>1;i--){
    			int x=id[i],f=t[x].fa;
    			rt[f]=Seg::Merge(rt[f],rt[x],1,n);
    		}
    	}
    }
    namespace sam{
    	Node t[N];
    	int root,last,size;
    	int id[N],val[N];
    	void Init(){
    		while (size){
    			clr(t[size].Next);
    			t[size].fa=t[size].Max=t[size].pos=val[size]=0;
    			size--;
    		}
    		root=last=size=1;
    	}
    	void extend(int c,int ps){
    		int p=last,np=++size,q,nq;
    		t[np].Max=t[p].Max+1,t[np].pos=ps;
    		for (;p&&!t[p].Next[c];p=t[p].fa)
    			t[p].Next[c]=np;
    		if (!p)
    			t[np].fa=1;
    		else {
    			q=t[p].Next[c];
    			if (t[p].Max+1==t[q].Max)
    				t[np].fa=q;
    			else {
    				nq=++size;
    				t[nq]=t[q],t[nq].Max=t[p].Max+1,t[nq].pos=ps;
    				t[np].fa=t[q].fa=nq;
    				for (;p&&t[p].Next[c]==q;p=t[p].fa)
    					t[p].Next[c]=nq;
    			}
    		}
    		last=np;
    	}
    	void Sort(){
    		static int tax[N];
    		for (int i=0;i<=size;i++)
    			tax[i]=0;
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			tax[t[i].Max]++;
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			tax[i]+=tax[i-1];
    		for (int i=1;i<=size;i++)
    			id[tax[t[i].Max]--]=i;
    	}
    	LL solve(){
    		Sort();
    		LL ans=0;
    		for (int i=size;i>1;i--){
    			int x=id[i],f=t[x].fa;
    			val[f]=max(val[x],val[f]);
    			ans+=max(0,t[x].Max-max(t[f].Max,val[x]));
    		}
    		return ans;
    	}
    }
    int main(){
    	scanf("%s",s+1);
    	n=strlen(s+1),q=read();
    	SAM::Init();
    	for (int i=1;i<=n;i++)
    		SAM::extend(s[i]-'a',i);
    	SAM::build();
    	SAM::t[0].Max=-1;
    	while (q--){
    		scanf("%s",s+1);
    		m=strlen(s+1);
    		sam::Init();
    		int L=read(),R=read();
    		int x=1,len=0;
    		for (int i=1;i<=m;i++){
    			int c=s[i]-'a',nowx=sam::size+1;
    			sam::extend(c,i);
    			while (x){
    				int nx=SAM::t[x].Next[c];
    				if (nx&&Seg::Query(SAM::rt[nx],1,n,L+len,R))
    					break;
    				if ((--len)==SAM::t[SAM::t[x].fa].Max)
    					x=SAM::t[x].fa;
    			}
    			if (!x)
    				x=1,len=0;
    			else {
    				x=SAM::t[x].Next[c];
    				sam::val[nowx]=++len;
    			}
    		}
    		printf("%lld
    ",sam::solve());
    	}
    	return 0;
    }
    

      

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