n皇后问题

一个n*n的国际象棋棋盘上放置n个皇后，这n个皇后两两均不在同一行、同一列、同一对角线上，求合法的方案数。

需要一层一层的搜索，因此采用深度优先搜索思想。

思考：n*n棋盘可用二维数组表示。已知约束条件：皇后均不在同一行、同一列、同一对角线上。

故编码寻找数学关系表达式。

解题一：考虑到每行只能放一个皇后，每列一个皇后，如果将每列皇后的行号依次写出，可以构成1~n的全排列。

只需要求解符合要求的全排列的方案数即可。枚举所有方案，然后判断每种情况是否合法，属于朴素算法，即暴力搜索。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,ans=0;
bool flag=true;   //标记这一组全排列是否可行
int num[1010]={0}; //num[i]表示第i行皇后所在第几列
int vis[1010]={0}; //判断数字是否用过

void dfs(int y){ //参数y表示第y层

    //搜完一组全排列方案
    flag=true;  //初始化为true
    if(y==n+1){
        //num[i]两两比较，只需判断不同皇后是否在同一对角线即可，
        //全排列已经保证了皇后的不同行不同列
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                if(abs(num[i]-num[j])==abs(i-j)){
                    flag=false;
                }
            }
        }
        if(flag){
            ans++;
        }
        return;
    }
    //全排列递归部分
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //判断数字是否使用过
        if(!vis[i]){
            vis[i]=true;  //标记这一层深搜时数字i已使用
            num[y]=i;     //第y层使用数字i
            dfs(y+1);     //进行下一层搜索
            vis[i]=false;  //递归返回时清除本层标记，将数字i置为未使用
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

优化一：当放置一部分皇后时，可能剩余的皇后无论怎样放置都不合法，因此就没必要向下递归了，直接返回上层即可。一般来说，如果在到达递归边界前的某层，由于一些事实导致已经不需要任何一个子问题递归，就可以直接返回上一层。一般把这种方法成为回溯法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,ans=0;
bool flag=true;   //标记这一组全排列是否可行
int num[1010]={0}; //num[i]表示第i行皇后所在第几列
int vis[1010]={0}; //判断数字是否用过

void dfs(int y){ //参数y表示第y层

    //搜完一组全排列方案
    flag=true;  //初始化为true
    if(y==n+1){
        //num[i]两两比较，只需判断不同皇后是否在同一对角线即可，
        //全排列已经保证了不同行不同列
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(abs(num[i]-num[j])==abs(i-j) && i!=j){
                    flag=false;
                }
            }
        }
        if(flag){
            ans++;
        }
        return;
    }
    //全排列递归部分
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //判断数字是否使用过
        if(!vis[i]){
            vis[i]=true;  //标记这一层深搜时数字i已使用
            num[y]=i;     //第y层使用数字i
            dfs(y+1);     //进行下一层搜索
            vis[i]=false;  //递归返回时清楚本层标记，将数字i置为未使用
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}