• 网络流24题 第三题


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    题目传送门 - CodeVS1904

    题目传送门 - 洛谷2764

     

    题意概括

      给出一个有向无环图,现在请你求一些路径,这些路径覆盖且仅覆盖所有的点一次。

      现在让你求最少要几条路径。

      CodeVS1904 - 只需要输出几条边

      洛谷2764 - 先输出路径,再输出几条。(但是截止2017-08-11,还没有SPJ)

     

    题解

      话说我这一题一开始在洛谷做,由于没有SPJ,多次爆零,据说在洛谷的那个数据只有网络流可以做?匈牙利挂了(因为没有SPJ)?

      首先,我们把题目中的每一个点看成两个点。

      对于一个点a, 我们把他看作x(出点,仅连出边)和y(入点,仅连入边)。

      然后通过读入的边,构建新的图。

      然后我们发现整个图是一个二分图。

      那么就可以用匈牙利算法,求出最大匹配总数,然后用总点数减去它,就是答案。

      为什么? 因为你选出的路径中,路径条数 = 总点数 - 选择的边的条数。(这个自己想想为什么吧,不解释)

      然后二分图匹配数其实就是选择的边数,那么路径条数 = 总点数 - 选择的边数 = 总点数 - 二分图匹配的边数。

      如果用网络流做,可以开一个源点和一个汇点,然后在之前的基础上,链接源点到x类点的边和y类点到汇点的边。洛谷没有SPJ,貌似只能用网络流做。

      至于输出路径,我们可以任意确定点,然后向该点的对应点的匹配点和该点匹配点延伸,然后标记掉,找到所有点之后再输出;当然可能会有多条路径,所以这一步做完之后是不够的,我们得不停的找没有被标记的点,直到所有的点都被标记,那么路径就生成完毕了。具体实现可以参见我的第二份代码 - 洛谷2764

      至于网络流 -> 可以看这个 -> 传送门

    代码 - CodeVS1904

    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstdlib>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    const int N=150*2+5,M=N*N;
    struct Gragh{
        int cnt,x[M],y[M],nxt[M],fst[N];
        void set(){
            cnt=0;
            memset(fst,0,sizeof fst);
        }
        void add(int a,int b){
            cnt++;
            x[cnt]=a,y[cnt]=b;
            nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;
        }
    }e;
    int n,m;
    int match[N],demat[N];
    bool vis[N];
    bool dfs(int x){
        for (int i=e.fst[x];i;i=e.nxt[i])
            if (!vis[e.y[i]]){
                vis[e.y[i]]=1;
                if (match[e.y[i]]==-1||dfs(match[e.y[i]])){
                    match[e.y[i]]=x;
                    return 1;
                }
            }
        return 0;
    }
    int q1[N],q2[N],zq1,zq2;
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        e.set();
        for (int i=1;i<=m;i++){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            e.add(x,y+n);
        }
        int cnt=0;
        memset(match,-1,sizeof match);
        for (int i=1;i<=n;i++){
            memset(vis,0,sizeof vis);
            if (dfs(i))
                cnt++;
        }
        memset(demat,-1,sizeof demat);
        for (int i=n+1;i<=2*n;i++)
            if (match[i]!=-1)
                demat[match[i]]=i;
        memset(vis,0,sizeof vis);
        printf("%d",n-cnt);
        return 0;
    }

    代码 - 洛谷2764 - 由于缺少SPJ而WA

    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstdlib>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    const int N=150*2+5,M=N*N;
    struct Gragh{
        int cnt,x[M],y[M],nxt[M],fst[N];
        void set(){
            cnt=0;
            memset(fst,0,sizeof fst);
        }
        void add(int a,int b){
            cnt++;
            x[cnt]=a,y[cnt]=b;
            nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;
        }
    }e;
    int n,m;
    int match[N],demat[N];
    bool vis[N];
    bool dfs(int x){
        for (int i=e.fst[x];i;i=e.nxt[i])
            if (!vis[e.y[i]]){
                vis[e.y[i]]=1;
                if (match[e.y[i]]==-1||dfs(match[e.y[i]])){
                    match[e.y[i]]=x;
                    return 1;
                }
            }
        return 0;
    }
    int q1[N],q2[N],zq1,zq2;
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        e.set();
        for (int i=1;i<=m;i++){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            e.add(x,y+n);
        }
        int cnt=0;
        memset(match,-1,sizeof match);
        for (int i=1;i<=n;i++){
            memset(vis,0,sizeof vis);
            if (dfs(i))
                cnt++;
        }
        memset(demat,-1,sizeof demat);
        for (int i=n+1;i<=2*n;i++)
            if (match[i]!=-1)
                demat[match[i]]=i;
        memset(vis,0,sizeof vis);
        for (int i=1;i<=n;i++){
            if (vis[i])
                continue;
            vis[i]=1;
            zq1=zq2=1;
            q1[1]=q2[1]=i;
            int x=i;
            while (demat[x]!=-1)
                x=demat[x]-n,q1[++zq1]=x,vis[x]=1;
            x=i;
            while (match[x+n]!=-1)
                x=match[x+n],q2[++zq2]=x,vis[x]=1;
            for (int j=zq2;j>=1;j--)
                printf("%d ",q2[j]);
            for (int j=2;j<=zq1;j++)
                printf("%d ",q1[j]);
            puts("");
        }
        printf("%d",n-cnt);
        return 0;
    }
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