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题目传送门 - BZOJ1597
题意概括
有N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.
题解
我们设长为a，宽为b。
我们先把a和b都排个序，然后把被其他包含的去掉，于是我做到a是降序的，b是升序的。
然后，不难列出dp方程：
对于删改过的，而且是有序的，那么：
f[ i ] = min( f[ j ] + a[ j + 1 ] × b[ i ] ) (0 ≤ j < i)
然而我们发现要超时，于是就要用到经典的斜率优化。
如果从 f[j] 转移比从 f[k] 转移更优，(j<k)，那么有：
f[j] + a[j+1] * b[i] > f[k] + a[k+1] * b[i]
移项得：
b[i] < (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])
设 g[j,k] = (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])
那么，如果g[j,k]<b[i]，因为b[i+k] (k≥0)≥b[i]，所以 j 永远比 k 差，那么 j 就可以扔掉了。
第二，如果a<b<c，且 g[a,b] > g[b,c]，那么b永远不可能为决策点。
因为：如果g[b,c] < b[i], 那么b显然没用了。
如果g[b,c]≥b[i], 那么因为 g[a,b] > g[b,c] ，所以g[a,b] > b[i] , 那么从a转移比从b更优，b还是废了。
于是我们用单调队列来维护这个东东即可。
代码
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=50000+5;
struct ground{
int a,b;
}g[N];
int n,a[N],b[N],q[N],head,tail;
bool alive[N];
LL f[N];
bool cmp(ground x,ground y){
if (x.b==y.b)
return x.a<y.a;
return x.b<y.b;
}
void DelUseless(){
int n_=0;
memset(alive,true,sizeof alive);
sort(g+1,g+n+1,cmp);
int Max=0;
for (int i=n;i>=1;i--)
if (g[i].a<=Max)
alive[i]=0;
else
Max=g[i].a;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (alive[i])
a[++n_]=g[i].a,b[n_]=g[i].b;
n=n_;
// a递减，b递增
}
double G(int j,int k){
double A=f[k]-f[j],B=a[j+1]-a[k+1];
return A/B;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&g[i].a,&g[i].b);
DelUseless();
// f[i] = min(f[j] + a[j+1] * b[i])
// 如果 j < k 且从 j 转移更优, 那么：
// f[j] + a[j+1] * b[i] > f[k] + a[k+1] * b[i]
// b[i] < (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])
// 设 g[j,k] = (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])
head=1,tail=0;
memset(f,0,sizeof f);
q[++tail]=0;
for (int i=1;i<=n;i++){
while (head<tail&&G(q[head],q[head+1])<b[i])
head++;
f[i]=f[q[head]]+1LL*a[q[head]+1]*b[i];
while (head<tail&&G(q[tail-1],q[tail])>G(q[tail],i))
tail--;
q[++tail]=i;
}
printf("%lld",f[n]);
return 0;
}
/*
5
25 25
15 15
30 30
25 35
20 15
*/