BZOJ1084 [SCOI2005]最大子矩阵 动态规划

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题目传送门 - BZOJ1084

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题意概括

　　这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。

　　输入：第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。

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题解

　　注意到1<=m<=2！

　　如果m = 1 ，那么就是一个简单的线性dp。

　　我们设dp[i][j]表示在前i个里面选出k个子矩阵的最大分值。

　　那么分两种情况讨论：

　　1.  什么都不干： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j])

　　2. 弄一个新的子矩阵： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[x][j - 1] + presum[i] - presum[x])  0<=x<i

　　时间复杂度O(kn²)

　　如果 m = 2 ，那么是一个稍微复杂一点的线性dp。

　　我们设dp[i][j][x]表示在第一列的前i个和第二列的前j个里面选出x个子矩阵的最大分值。

　　那么分几种情况进行讨论：

　　1. 什么都不干： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[i - 1][j][x], dp[i][j - 1][x])

　　2. 在第一列弄一个新的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[y][j][x - 1] + presum[i][1] - presum[y][1])  0<=y<i

　　3. 在第二列弄一个新的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[i][y][x - 1] + presum[j][2] - presum[y][2])  0<=y<j

　　4. 在第一、二列弄一个宽度为2的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[y][y][x - 1] + presum[i][1] - presum[y][1] + presum[j][2] - presum[y][2])  i = j 且 0<=y<i

　　时间复杂度O(kn³)

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=100+5,M=5,K=10+5;
const int Inf=1<<25;
int n,m,k,a[N][M];
void solve1(){
    int dp[N][K],presum[N];
    for (int i=0;i<N;i++)
        for (int j=0;j<K;j++)
            dp[i][j]=-Inf;
    presum[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        presum[i]=presum[i-1]+a[i][1];
    dp[0][0]=0;
    int ans=-Inf;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=k;j++){
            if (!i&&!j)
                continue;
            if (i)
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if (!j)
                continue;
            for (int x=0;x<i;x++)
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-1]+presum[i]-presum[x]);
        }
    printf("%d",dp[n][k]);
}
void solve2(){
    int dp[N][N][K],presum[N][M];
    presum[0][1]=presum[0][2]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        presum[i][1]=presum[i-1][1]+a[i][1];
        presum[i][2]=presum[i-1][2]+a[i][2];
    }
    for (int i=0;i<N;i++)
        for (int j=0;j<N;j++)
            for (int x=0;x<K;x++)
                dp[i][j][x]=-Inf;
    dp[0][0][0]=0;
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=n;j++)
            for (int x=0;x<=k;x++){
                if (!i&&!j&&!x)
                    continue;
                if (i&&j)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i-1][j][x],dp[i][j-1][x]);
                else if (i)
                    dp[i][j][x]=dp[i-1][j][x];
                else if (j)
                    dp[i][j][x]=dp[i][j-1][x];
                if (!x)
                    continue;
                for (int y=0;y<i;y++)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[y][j][x-1]+presum[i][1]-presum[y][1]);
                for (int y=0;y<j;y++)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[i][y][x-1]+presum[j][2]-presum[y][2]);
                if (i==j)
                    for (int y=0;y<i;y++)
                        dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[y][y][x-1]+presum[i][1]-presum[y][1]+presum[j][2]-presum[y][2]);
            }
    printf("%d",dp[n][n][k]);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    if (m==1)
        solve1();
    else
        solve2();
    return 0;
}