[BZOJ3503][CQOI2014]和谐矩阵

bzoj
luogu

题意

给出(n,m)要求构造一个(n imes m)的(01)矩阵使得每个点及其上下左右（如果有的话）的元素的异或和为(0)。构造出来的矩阵不能全是(0)。
(n,mle40)

sol

如何保证解出来不是全(0)？只要对于每个自由元都强制设成(1)就可以了。

想都不要想就可以列出(n imes m)个方程然后跑(O((nm)^3))的高斯消元。

一开始我还以为跑不过，然而。。。

(1600 imes1600 imes1600div64=64000000)

这居然是正确的复杂度。。。

所以这题暴力就直接艹过去了。弄得我都不想写正解了

以下是暴力代码。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 1605;
int n,m,tot,id[45][45],sol[N];
bitset<N>a[N];
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			id[i][j]=++tot;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
		{
			a[id[i][j]][id[i][j]]=1;
			if (i>1) a[id[i][j]][id[i-1][j]]=1;
			if (j>1) a[id[i][j]][id[i][j-1]]=1;
			if (i<n) a[id[i][j]][id[i+1][j]]=1;
			if (j<m) a[id[i][j]][id[i][j+1]]=1;
		}
	for (int i=1;i<=tot;++i)
	{
		if (!a[i][i])
		{
			for (int j=i+1;j<=tot;++j)
				if (a[j][i]) {swap(a[i],a[j]);break;}
		}
		for (int j=i+1;j<=tot;++j)
			if (a[j][i]) a[j]^=a[i];
	}
	for (int i=tot;i;--i)
	{
		sol[i]=a[i][tot+1];
		for (int j=tot;j>i;--j)
			if (a[i][j]) sol[i]^=sol[j];
		if (!a[i][i]) sol[i]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i,puts(""))
		for (int j=1;j<=m;++j)
			printf("%d ",sol[id[i][j]]);
	return 0;
}

下面是正解。

因为上面的一个方程里面只有至多(5)个变量拿去跑(O(n^3))的高斯消元太不划算了，我们考虑把一些方程代入其他方程里面。

考虑只对第一行设元。由于第一行的每个点要满足

[a_{1,j} oplus a_{1,j-1} oplus a_{1,j+1} oplus a_{2,j}=0 ]

（越界会默认是(0)所以没关系的）

那么也就是

[a_{2,j}=a_{1,j} oplus a_{1,j-1} oplus a_{i,j+1} ]

以此类推，这样每一个(a_{i,j})都可以用(m)个第一行的未知量来表示。最后就只要对最后一行满足的条件（即(a_{n,j} oplus a_{n,j-1} oplus a_{n,j+1} oplus a_{n-1,j}=0)）解方程就可以了。

复杂度(O(n^3))

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 45;
int n,m,ans[N][N];
bitset<45>a[N][N],b[N];
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	for (int j=1;j<=m;++j) a[1][j][j]=1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			a[i][j]=a[i-1][j-1]^a[i-2][j]^a[i-1][j]^a[i-1][j+1];
	for (int j=1;j<=m;++j) b[j]=a[n][j-1]^a[n-1][j]^a[n][j]^a[n][j+1];
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		if (!b[i][i])
		{
			for (int j=i+1;j<=m;++j)
				if (b[j][i]) {swap(b[i],b[j]);break;}
		}
		for (int j=i+1;j<=m;++j)
			if (b[j][i]) b[j]^=b[i];
	}
	for (int i=m;i;--i)
	{
		ans[1][i]=0;
		for (int j=m;j>i;--j)
			if (b[i][j]) ans[1][i]^=ans[1][j];
		if (!b[i][i]) ans[1][i]=1;
	}
	for (int i=2;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			ans[i][j]=ans[i-1][j-1]^ans[i-2][j]^ans[i-1][j]^ans[i-1][j+1];
	for (int i=1;i<=n;++i,puts(""))
		for (int j=1;j<=m;++j)
			printf("%d ",ans[i][j]);
	return 0;
}