[CF932E]Team Work & [BZOJ5093]图的价值

CF题面
题意：求(sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}i^k)
(nle10^9,kle5000)
模(10^9+7)
BZOJ题面
题意：求(n*2^{frac{n(n-1))}{2}-(n-1)}*sum_{i=0}^{n-1}inom{n-1}{i}i^k)
(nle10^9,kle2*10^5)
模(998244353)

第二类斯特林数

赶紧去学第二类斯特林数啊
第二类斯特林数：(S(n,m))，表示把(n)个不同的的球放到(m)个相同的盒子且不允许空盒的方案数。
首先有一个(O(n^2))的递推。考虑第(n)个球的放置，如果单独放置方案数就等于(S(n-1,m-1))，否则就是(m*S(n-1,m))，表示枚举放在那个盒子里。写出来就是

[S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) ]

边界条件：(S(0,0)=1,S(i,0)=0(i>0))
然后还有各种考虑组和意义得出来的柿子
第二类斯特林数存在通项公式。因为(m^n)表示把(n)个不同的球放到(m)个不同的盒子里且允许空盒的方案数，我们想办法用这个东西构造出第二类斯特林数的组和意义。
首先盒子是否相同很好办，直接乘/除以(m!)即可。关键问题在于空盒的处理。
考虑容斥，计算“至少有(k)个空盒然后剩下的随便是不是空盒的方案数”，乘上一个容斥系数

[S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kinom{m}{k}(m-k)^n ]

还有一个，反过来用第二类斯特林数来表示(m^n)
其实就是一个反演，但如果也同样考虑组和意义的话岂不妙哉。
枚举有几个盒子不是空的，可以直接得到如下柿子：

[m^n=sum_{i=0}^{m}S(n,i)*inom{m}{i}*i! ]

sol

所以说这道题怎么做呢？
开始推柿子辣~

[sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}i^k=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}sum_{j=0}^{i}S(k,j)*inom{i}{j}*j!\=sum_{j=0}^{n}S(k,j)*j!sum_{i=j}^{n}inom{n}{i}inom{i}{j}\=sum_{j=0}^{n}S (k,j)*j!*inom{n}{j}*2^{n-j}\=sum_{j=0}^{k}S (k,j)*j!*inom{n}{j}*2^{n-j}]

注意(sum_{i=j}^{n}inom{n}{i}inom{i}{j})的组合意义：从(n)个里面选出任意多个（大于等于(j)）再从中选出(j)个，相当于从(n)个中选(j)个然后剩下的(n-j)个随便选。
柿子里面的阶乘(j!)、组合数(inom{n}{j})、2的次幂(2^{n-j})都可以(O(k))处理出来。复杂度瓶颈在于第二类斯特林数的处理。
(kle5000)可以直接用递推式(O(k^2))处理出来，而观察其通项式会发现其实就是一个卷积形式：

[S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kinom{m}{k}(m-k)^n\=sum_{k=0}^{m}frac{(-1)^k}{k!}*frac{(m-k)^n}{(m-k)!} ]

所以直接上(NTT)，复杂度(O(klog{k}))
但是(CF)上的那道题不能用(NTT)诶，毕竟(10^9+7)怎么(NTT)（我没说不可以啊，只是我还不会呀。。。）

update 3.28 放心(MTT)这个坑已经填了。

code

[CF932E]Team Work
这里我强行用通项公式然后写了个(O(k^2))的多项式乘法

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int fastpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return res;
}
const int N = 5005;
int jc[N],C[N],two[N],inv,a[N],b[N],s[N],ans;
int main()
{
	int n=gi(),k=gi();
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=k;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
	C[0]=1;
	for (int i=1;i<=k;++i) C[i]=1ll*C[i-1]*(n-i+1)%mod*fastpow(i,mod-2)%mod;
	two[0]=fastpow(2,n);inv=fastpow(2,mod-2);
	for (int i=1;i<=k;++i) two[i]=1ll*two[i-1]*inv%mod;
	for (int i=0;i<=k;++i) a[i]=i&1?mod-fastpow(jc[i],mod-2):fastpow(jc[i],mod-2);
	for (int i=0;i<=k;++i) b[i]=1ll*fastpow(i,k)*fastpow(jc[i],mod-2)%mod;
	for (int i=0;i<=k;++i)
		for (int j=0;j<=i;++j)
			(s[i]+=1ll*a[j]*b[i-j]%mod)%=mod;
	for (int i=1;i<=k;++i) (ans+=1ll*s[i]*jc[i]%mod*C[i]%mod*two[i]%mod)%=mod;
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

[BZOJ5093]图的价值

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int _ = 800005;
const int mod = 998244353;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int fastpow(int a,int b)
{
	int res=1;
	while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return res;
}
int n,N,k,l;
int jc[_],C[_],two[_],inv,a[_],b[_],rev[_],ans;
void NTT(int *P,int opt)
{
	for (int i=0;i<N;++i) if (i>rev[i]) swap(P[i],P[rev[i]]);
	for (int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int W=fastpow(3,(mod-1)/(i<<1));
		if (opt==-1) W=fastpow(W,mod-2);
		for (int j=0,p=i<<1;j<N;j+=p)
		{
			int w=1;
			for (int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%mod)
			{
				int x=P[j+k],y=1ll*P[j+k+i]*w%mod;
				P[j+k]=(x+y)%mod;P[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if (opt==-1)
	{
		int Inv=fastpow(N,mod-2);
		for (int i=0;i<N;++i) P[i]=1ll*P[i]*Inv%mod;
	}
}
int main()
{
	n=gi()-1;k=gi();
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=k;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
	C[0]=1;
	for (int i=1;i<=k;++i) C[i]=1ll*C[i-1]*(n-i+1)%mod*fastpow(i,mod-2)%mod;
	two[0]=fastpow(2,n);inv=fastpow(2,mod-2);
	for (int i=1;i<=k;++i) two[i]=1ll*two[i-1]*inv%mod;
	for (int i=0;i<=k;++i) a[i]=i&1?mod-fastpow(jc[i],mod-2):fastpow(jc[i],mod-2);
	for (int i=0;i<=k;++i) b[i]=1ll*fastpow(i,k)*fastpow(jc[i],mod-2)%mod;
	for (N=1;N<=k*2;N<<=1) ++l;--l;
	for (int i=0;i<N;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	NTT(a,1);NTT(b,1);
	for (int i=0;i<N;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,-1);
	for (int i=0;i<=k;++i) (ans+=1ll*a[i]*jc[i]%mod*C[i]%mod*two[i]%mod)%=mod;
	int Pow=(1ll*n*(n+1)/2-n)%(mod-1);
	printf("%d
",1ll*ans*fastpow(2,Pow)%mod*(n+1)%mod);
	return 0;
}