[BZOJ3309]DZY Loves Math

题面戳我
题意：多组数据，给出n，m，求

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j)) ]

其中(f(i))表示(i)所含质因子的最大幂指数。
例如(f(1960)=f(2^3*5^1*7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0)。
(Tle10^5,n,mle10^7)

sol

首先到了这一步$$ans=sum_{T=1}^{n}lfloorfrac nT floorlfloorfrac mT floorsum_{d|T}f(d)mu(frac Td)$$
所以说(h(T)=sum_{d|T}f(d)mu(frac Td))这个函数的前缀和怎么求？
暴力筛？(nle10^7!)
所以这个时候就需要研究这个函数的性质。
我们假设(T)被唯一分解为(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k})
为了保证有贡献我们要让(mu(frac Td))非零，那么(frac Td)的最大指数幂不能超过一。也就是说枚举的(d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k})必须满足，对于所有(iin[1,k])有(0le a_i-b_ile 1)。那么这么来说对于每个(T)，设其一共含有(k)种不同的质因数，那么会给它贡献的就只有(2^k)个数。枚举的每个(d)，就有(f(d)=max{b_i})
分两种情况讨论：
1、存在一组(i,j)使(a_i< a_j)。那么此时(b_i)就永远不可能成为(max{b})，换言之，无论你取不取这个(i)，(f(d))的值算出来都是一样的。又因为取这个(i)的时候的(mu(frac Td))值与不取这个(i)的时候的(mu(frac Td))值恰好相反，所以加起来就会有(h(T)=0)。
2、所有(a_i)都相等。还是装作上一种情况算，不同之处在于当所有(b_i)取(a_i-1)的时候(f(d)=b_i=a_i-1)，那么这时(h(T))的值就只与这个-1前面的(mu)值有关（因为其他的都抵消掉了）。易知这个-1前面的系数是(mu(p_1p_2...p_k))，所以说(h(T)=-(-1)^k=(-1)^{k+1})
线性筛：记录每个数的最小质因子的幂指数和最小质因子的指数次幂，判除掉最小质因子后最小值因子的幂指数是否相等（好像写的很复杂的样子。。。）

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10000000;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int pri[N>>2],tot,zhi[N+5],a[N+5],low[N+5],h[N+5];
void Sieve()
{
	zhi[1]=1;
	for (int i=2;i<=N;i++)
	{
		if (!zhi[i]) low[i]=pri[++tot]=i,a[i]=h[i]=1;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]==0)
			{
				a[i*pri[j]]=a[i]+1;
				low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
				if (i==low[i])
					h[i*pri[j]]=1;
				else h[i*pri[j]]=(a[i/low[i]]==a[i*pri[j]])?-h[i/low[i]]:0;
				break;
			}
			a[i*pri[j]]=1;
			low[i*pri[j]]=pri[j];
			h[i*pri[j]]=(a[i]==1)?-h[i]:0;
		}
	}
	for (int i=1;i<=N;i++) h[i]+=h[i-1];
}
int main()
{
	Sieve();
	int T=gi();
	while (T--)
	{
		int n=gi(),m=gi();
		if (n>m) swap(n,m);
		int i=1;long long ans=0;
		while (i<=n)
		{
			int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(h[j]-h[i-1]);
			i=j+1;
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}