[BZOJ4012][HNOI2015]开店

题面戳我

Description

风见幽香有一个好朋友叫八云紫，她们经常一起看星星看月亮从诗词歌赋谈到
人生哲学。最近她们灵机一动，打算在幻想乡开一家小店来做生意赚点钱。这样的
想法当然非常好啦，但是她们也发现她们面临着一个问题，那就是店开在哪里，面
向什么样的人群。很神奇的是，幻想乡的地图是一个树形结构，幻想乡一共有 n
个地方，编号为 1 到 n，被 n-1 条带权的边连接起来。每个地方都住着一个妖怪，
其中第 i 个地方的妖怪年龄是 x_i。妖怪都是些比较喜欢安静的家伙，所以它们并
不希望和很多妖怪相邻。所以这个树所有顶点的度数都小于或等于 3。妖怪和人一
样，兴趣点随着年龄的变化自然就会变化，比如我们的 18 岁少女幽香和八云紫就
比较喜欢可爱的东西。幽香通过研究发现，基本上妖怪的兴趣只跟年龄有关，所以
幽香打算选择一个地方 u（u为编号），然后在 u开一家面向年龄在 L到R 之间（即
年龄大于等于 L、小于等于 R）的妖怪的店。也有可能 u这个地方离这些妖怪比较
远，于是幽香就想要知道所有年龄在 L 到 R 之间的妖怪，到点 u 的距离的和是多
少（妖怪到 u 的距离是该妖怪所在地方到 u 的路径上的边的权之和） ，幽香把这个
称为这个开店方案的方便值。幽香她们还没有决定要把店开在哪里，八云紫倒是准
备了很多方案，于是幽香想要知道，对于每个方案，方便值是多少呢。

Input

第一行三个用空格分开的数 n、Q和A，表示树的大小、开店的方案个数和妖
怪的年龄上限。
第二行n个用空格分开的数 x_1、x_2、…、x_n，x_i 表示第i 个地点妖怪的年
龄，满足0<=x_i<A。(年龄是可以为 0的，例如刚出生的妖怪的年龄为 0。)
接下来 n-1 行，每行三个用空格分开的数 a、b、c，表示树上的顶点 a 和 b 之
间有一条权为c(1 <= c <= 1000)的边，a和b 是顶点编号。
接下来Q行，每行三个用空格分开的数 u、 a、 b。对于这 Q行的每一行，用 a、
b、A计算出 L和R，表示询问“在地方 u开店，面向妖怪的年龄区间为[L,R]的方
案的方便值是多少”。对于其中第 1 行，L 和 R 的计算方法为：L=min(a%A,b%A),
R=max(a%A,b%A)。对于第 2到第 Q行，假设前一行得到的方便值为 ans，那么当
前行的 L 和 R 计算方法为： L=min((a+ans)%A,(b+ans)%A),
R=max((a+ans)%A,(b+ans)%A)。

Output

对于每个方案，输出一行表示方便值。

Sample Input

10 10 10 
0 0 7 2 1 4 7 7 7 9  
1 2 270 
2 3 217 
1 4 326 
2 5 361 
4 6 116 
3 7 38 
1 8 800 
6 9 210 
7 10 278 
8 9 8 
2 8 0 
9 3 1 
8 0 8 
4 2 7 
9 7 3 
4 7 0 
2 2 7 
3 2 1 
2 3 4 

Sample Output

1603 
957 
7161 
9466 
3232 
5223 
1879 
1669 
1282 
0 

HINT

满足 n<=150000,Q<=200000。对于所有数据，满足 A<=10^9

题解

以下题解摘自《数据结构》by wfj_2048

显然这题是要求$$sum dis(u,v) , year[v]in[l,r]$$
也就是$$sum dis_u+dis_v-2*dis_{lca(u,v)}$$
其中(dis_u)为(u)到根的距离。
易知前两个东西可以O(1)算。
瓶颈在于后面那个(dis_{lca(u,v)})。
画一下图可以发现，这个东西就是(u),(v)链交的长度。
那么我们把所有的v到根的链都标记一下，于是我们每次只要查询u到根的标记和了。
对于年龄限制，我们以年龄为前缀建一棵主席树，每次加入一条边权就用树链剖分修改当前年龄根到v点的线段树。注意区间修改要标记永久化。
那么我们把所有点按照年龄排序，依次加入路径就行了。
查询就直接用主席树的前缀和性质就行了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 150005;
struct edge{int to,next,w;}a[N<<1];
int n,Q,A,head[N],cnt,fa[N],dis[N],sz[N],son[N],top[N],dfn[N],rt[N],tot;
ll sumdis[N],sumE[N],ans;
struct president_tree{int ls,rs,tim;ll num;}t[N*150];
struct node
{
	int age,id;
	bool operator < (const node &b) const
		{return age==b.age?id<b.id:age<b.age;}
}x[N];
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
void dfs1(int u,int f)
{
	fa[u]=f;sz[u]=1;
	for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
	{
		int v=a[e].to;if (v==f) continue;
		dis[v]=dis[u]+a[e].w;dfs1(v,u);
		sz[u]+=sz[v];if (sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int up)
{
	top[u]=up;dfn[u]=++cnt;
	sumE[cnt]=dis[u]-dis[fa[u]];
	if (son[u]) dfs2(son[u],up);
	for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
		if (a[e].to!=fa[u]&&a[e].to!=son[u])
			dfs2(a[e].to,a[e].to);
}
void build(int &now,int l,int r)
{
	now=++tot;
	if (l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	build(t[now].ls,l,mid);
	build(t[now].rs,mid+1,r);
}
void modify(int &now,int l,int r,int ql,int qr)
{
	t[++tot]=t[now];
	if (l==ql&&r==qr) {t[now=tot].tim++;return;}
	t[now=tot].num+=sumE[qr]-sumE[ql-1];
	int mid=l+r>>1;
	if (qr<=mid) modify(t[now].ls,l,mid,ql,qr);
	else if (ql>mid) modify(t[now].rs,mid+1,r,ql,qr);
	else modify(t[now].ls,l,mid,ql,mid),modify(t[now].rs,mid+1,r,mid+1,qr);
}
ll query(int now,int l,int r,int ql,int qr)
{
	ll res=1ll*(sumE[qr]-sumE[ql-1])*t[now].tim;
	if (l==ql&&r==qr) return res+t[now].num;
	int mid=l+r>>1;
	if (qr<=mid) return res+query(t[now].ls,l,mid,ql,qr);
	else if (ql>mid) return res+query(t[now].rs,mid+1,r,ql,qr);
	else return res+query(t[now].ls,l,mid,ql,mid)+query(t[now].rs,mid+1,r,mid+1,qr);
}
ll ask(int k,int u)
{
	ll res=0;
	while (top[u]^1) res+=query(rt[k],1,n,dfn[top[u]],dfn[u]),u=fa[top[u]];
	return res+query(rt[k],1,n,1,dfn[u]);
}
int main()
{
	n=gi();Q=gi();A=gi();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		x[i]=(node){gi(),i};
	sort(x+1,x+n+1);
	for (int i=1,u,v,w;i<n;i++)
	{
		u=gi();v=gi();w=gi();
		a[++cnt]=(edge){v,head[u],w};head[u]=cnt;
		a[++cnt]=(edge){u,head[v],w};head[v]=cnt;
	}
	dfs1(1,0);cnt=0;dfs2(1,1);
	for (int i=1;i<=n;i++) sumE[i]+=sumE[i-1],sumdis[i]=sumdis[i-1]+dis[x[i].id];
	build(rt[0],1,n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int u=x[i].id;rt[i]=rt[i-1];
		while (top[u]^1) modify(rt[i],1,n,dfn[top[u]],dfn[u]),u=fa[top[u]];
		modify(rt[i],1,n,1,dfn[u]);
	}
	for (int i=1,u,l,r;i<=Q;i++)
	{
		u=gi();l=gi();r=gi();
		l=(1ll*l+ans)%A;r=(1ll*r+ans)%A;
		if (l>r) swap(l,r);
		l=lower_bound(x+1,x+n+1,(node){l,0})-x;
		r=upper_bound(x+1,x+n+1,(node){r,n})-x-1;
		ans=1ll*(r-l+1)*dis[u]+sumdis[r]-sumdis[l-1]-2*(ask(r,u)-ask(l-1,u));
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}