高维FWT

给定(F(a_0,a_1...a_n)_3)，(G(a_0,a_1...a_n)_3)

定义(a oplus b) 为3进制不进位加法，求$ Ans= F oplus G$ ，即求

[Ans(a_0+b_0 mod 3,a_1+b_1 mod 3,...,a_n+b_n mod 3)_3=F(a_0,a_1...a_n)_3 G(b_0,b_1...b_n)_3 ]

part 1

我们先考虑(n)为(1)的情况，可以发现这就是一个长度为(3)的循环卷积。

因为该卷积的元素个数很少，我们考虑如何对多项式(A(x))暴力求(DFT(A(x)))和(IDFT(A(x)))。

回想一下(DFT)是在做什么，它相当于是给定多项式(A(x))各位的系数(a_i)，对多项式(A(x))求(x=omega_n^0,omega_n^1...omega_n^{n-1})时的值。

(IDFT)就是给定多项式(A(x))在(x=omega_n^0,omega_n^1...omega_n^{n-1}) 的值，求多项式(A(x))各位的系数(a_i)。

考虑一下以下矩阵(范德蒙德矩阵)

[T_n = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ldots & 1 \ 1 & omega_n ^ 1 & omega_n ^ 2 & ldots & omega_n ^ {n - 1} \ 1 & omega_n ^ 2 & omega_n ^ 4 & ldots & omega_n ^ {2(n - 1)} \ ldots & ldots & ldots & ddots & ldots \ 1 & omega_n ^ {n - 1} & omega_n ^ {2(n - 1)} & ldots & omega_n ^ {(n - 1)(n - 1)} \ end{bmatrix} ]

我们发现对(A(x))求(DFT)就是对(A(x))所表示的向量乘上矩阵(T_n)

考虑(T_n)的逆矩阵

[T_n ^ {-1} = frac{1}{n} egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ldots & 1 \ 1 & omega_n ^ {-1} & omega_n ^ {-2} & ldots & omega_n ^ {-(n - 1)} \ 1 & omega_n ^ {-2} & omega_n ^ {-4} & ldots & omega_n ^ {-2(n - 1)} \ ldots & ldots & ldots & ddots & ldots \ 1 & omega_n ^ {-(n - 1)} & omega_n ^ {-2(n - 1)} & ldots & omega_n ^ {-(n - 1)(n - 1)} \ end{bmatrix} ]

可以证明该矩阵是(T_n)的逆矩阵(当然我不会啦)

那么对(A(x))求(IDFT)就是对(A(x))所表示的向量乘上矩阵(T_n^{-1})

对于一个大小为(3)的多项式，我们只要先求出(3)次单位根，再暴力乘上一个(3*3)的矩阵就好了

Part 2

若(n>1)，那么我们要求一下式子(为了方便以下式子都省略(mod 3))

[F(a_0,a_1...a_n)_3 G(b_0,b_1...b_n)_3 o Ans(a_0+b_0,a_1+b_1,...,a_n+b_n)_3 ]

我们不妨先枚举(a_1,a_2...a_n,b_1,b_2...b_n)，

[F(a_0,x,y...z)_3 G(b_0,u,v...w)_3 o Ans(a_0+b_0,x+u,y+v,...,z+w)_3 ]

我们此时只要对(F,G)的第一维做循环卷积就好了。

假设我们已经对(F(a_0,x,y...z))和(G(b_0,u,v...w))的第一维做了(DFT)变换

此时我们要求:

[F(X,x,y...z)_3 G(X,u,v...w)_3 o Ans(X,x+u,y+v,...,z+w)_3 ]

然后再对 (Ans) 的第一维做(IDFT)变换

我们考虑求解它的一个子问题

[F(X,x,y...z)_3 G(X,u,v...w)_3 o Ans(X,x+u,y+v,...,z+w)_3 ]

即枚举(F,G)的第一维，再枚举(F,G)除第二维以后的后面几维

[F(X,a_1,x,y...z)_3 G(X,b_1,u,v...w)_3 o Ans(X,a_1+b_1,x+u,y+v,...,z+w)_3 ]

我们发现这个形式和上面的形式差不多，我们此时再对(F,G)第二维做(DFT)变换，再解决一个子问题，再对(Ans)

第二维做(IDFT)变换

我们这样递归下去，发现我们就是对(F,G)的(1 o n)维做(DFT)变换，再对(F,G) 对应的点值相乘，再做(IDFT)变换

伪代码:

FWT(A),FWT(B)

for(i=0~(3^n)-1) A[i]*B[i]->Ans[i]

IFWT(Ans)

复杂度(O(3^n n *3^2))

若将(3)换成(d)，复杂度为(O(d^n n* d^2))或(O(d^n n* d logd))