1 B样条曲线
1.1 B样条曲线定义
B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是形状数学描述的主流方法之一，另外B样条方法是目前工业产品几何定义国际标准——有理B样条方法(NURBS)的基础。B样条方法兼备了Bezier方法的一切优点，包括几何不变性，仿射不变性等等，同时克服了Bezier方法中由于整体表示带来不具有局部性质的缺点（移动一个控制顶点将会影响整个曲线）。B样条曲线方程可写为：
其中，di(i=0,1...n)为控制顶点（坐标）， Ni,k(i=0,1...n)k次规范B样条基函数，最高次数是k。基函数是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U： u0≤u1≤...≤un+k+1所决定的k次分段多项式。
B样条的基函数通常采用Cox-deBoor（德布尔—考克斯）递推公式：
式中 i 为节点序号， k是基函数的次数，共有 n+1个控制顶点。
注意区分节点和控制顶点，节点是在节点矢量U中取得，控制顶点则是坐标点，决定B样条的控制多边形。
Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核心，该部分在程序中实现可采用递归的方式：
% BaseFunction.m文件
function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)
% 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量
if k == 0 % 0次B样条
if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))
Nik_u = 1.0;
else
Nik_u = 0.0;
end
else
Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);
Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2); % 支撑区间的长度
if Length1 == 0.0 % 规定0/0 = 0
Length1 = 1.0;
end
if Length2 == 0.0
Length2 = 1.0;
end
Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...
+ (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);
end
所给程序可用于计算基函数Ni,k(u)的值，程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点矢量 NodeVector 的取值不同。
1.2 B样条曲线的分类
根据节点矢量中节点的分布情况不同，可以划分4中类型的B样条曲线：
1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布。
2. 准均匀B样条曲线
其节点矢量中两端节点具有重复度k+1，即u0=u1=...=uk，un+1=un+2=...=un+k+1，所有的内节点均匀分布，具有重复度1。
3. 分段Bezier曲线
其节点矢量中两端节点的重复度与类型2相同，为k+1。不同的是内节点重复度为k。该类型有限制条件，控制顶点数减1必须等于次数的正整数倍，即n / k = 正整数。
4. 一般非均匀B样条曲线
对任意分布的节点矢量U=[u0,u1...un+k+1]，只要在数学上成立都可选取。
2 B样条曲线的绘制
2.1 节点矢量的确定
不同类型的B样条曲线区别主要在于节点矢量，对于具有n+1个控制顶点(P0,P1,...,Pn)的 k 次B样条曲线，无论是哪种类型都具有n+k+2个节点([u0,u1...un+k+1])。
根据图示，三种类型的B样条曲线对应的节点矢量分别为：
需要注意的是分段Bezier曲线必须满足 n / k=正整数。
这里给出准均匀B样条和分段Bezier曲线的生成节点矢量的代码，均匀B样条的很简单就不列出了。
假设共n+1个控制顶点，k次B样条，输入参数为 n, k ，输出节点矢量NodeVector。
准均匀B样条曲线的节点矢量生成：
% U_quasi_uniform.m文件
function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k)
% 准均匀B样条的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
NodeVector = zeros(1, n+k+2);
piecewise = n - k + 1; % 曲线的段数
if piecewise == 1 % 只有一段曲线时，n = k
for i = n+2 : n+k+2
NodeVector(1, i) = 1;
end
else
flag = 1; % 不止一段曲线时
while flag ~= piecewise
NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise;
flag = flag + 1;
end
NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1;
end
分段Bezier曲线的节点矢量生成：
% U_piecewise_Bezier.m文件
function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k)
% 分段Bezier曲线的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
% 分段Bezier端节点重复度为k+1，内间节点重复度为k,且满足n/k为正整数
if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1) % 满足n是k的整数倍且k为正整数
NodeVector = zeros(1, n+k+2); % 节点矢量长度为n+k+2
NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1); % 右端节点置1
piecewise = n / k; % 设定内节点的值
Flg = 0;
if piecewise > 1
for i = 2 : piecewise
for j = 1 : k
NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise;
end
Flg = Flg + 1;
end
end
else
fprintf('error!\n');
end
2.2 B样条曲线的绘制
只需要确定控制顶点di、曲线的次数k 以及基函数Ni,k(u)，就完全确定了曲线。
B样条曲线的绘制函数：
% DrawSpline.m文件
function DrawSpline(n, k, P, NodeVector)
% B样条的绘图函数
% 已知n+1个控制顶点P(i), k次B样条，P是2*(n+1)矩阵存控制顶点坐标, 节点向量NodeVector
plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),...
'o','LineWidth',1,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',6);
line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1));
Nik = zeros(n+1, 1);
for u = 0 : 0.005 : 1-0.005
for i = 0 : 1 : n
Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector);
end
p_u = P * Nik;
if u == 0
tempx = p_u(1,1);
tempy = p_u(2,1);
line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],...
'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3);
else
line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],...
'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3);
tempx = p_u(1,1);
tempy = p_u(2,1);
end
end
调用 DrawSpline(n, k, P, NodeVector) 函数就能绘制曲线，注意输入变量要正确。
下面给出绘制三种不同B样条曲线的命令流，可以参考比较每种类型之间的区别。
% 绘制三种类型的B样条曲线，需要前面所给的所有.m文件
clear all;
%控制顶点
P = [9.036145, 21.084337, 37.607573, 51.893287, 61.187608;
51.779661, 70.084746, 50.254237, 69.745763, 49.576271];
n = 4; k = 2;
flag = 2;
% flag = 1，绘制均匀B样条曲线
% flag = 2, 绘制准均匀B样条曲线
% flag = 3, 绘制分段Bezier曲线
switch flag
case 1
NodeVector = linspace(0, 1, n+k+2); % 均匀B样条的节点矢量
% 绘制样条曲线
plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),...
'o','LineWidth',1,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',6);
line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1));
Nik = zeros(n+1, 1);
for u = k/(n+k+1) : 0.001 : (n+1)/(n+k+1)
% for u = 0 : 0.005 : 1
for i = 0 : 1 : n
Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector);
end
p_u = P * Nik;
line(p_u(1,1), p_u(2,1), 'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9]);
end
case 2
NodeVector = U_quasi_uniform(n, k); % 准均匀B样条的节点矢量
DrawSpline(n, k, P, NodeVector);
case 3
NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k); % 分段Bezier曲线的节点矢量
DrawSpline(n, k, P, NodeVector);
otherwise
fprintf('error!\n');
end
三种类型的B样条曲线：
1. 均匀B样条曲线
2. 准均匀B样条曲线
3. 分段Bezier曲线
