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一．点击率的贝叶斯平滑
预估互联网广告的点击率一个重要的技术手段是logistic regression模型，这个模型非常依赖特征的设计。每个广告的反馈ctr作为特征能极大地提升预估的准确性，所以每个广告的反馈ctr非常重要。
目前用得比较多的获取反馈ctr的方式是直接计算每个广告的历史ctr，这样的问题就是当该广告投放量比较少的时候（如新广告），历史ctr与实际ctr相差很大。如一个广告投放了100次，有2次点击，那么ctr就是2%，但是当这个广告投放量到了1000次的时候，点击只有10次，点击率是1%，这里就相差了一倍了。产生这种问题的的原因是投放量太少，数据有偏，所以如果每个广告在开始投放前就有了默认的一个展示数和点击数，即分子分母都加上一个比较大的常数，这样计算起ctr来就不会有那么大的偏差。这种方法叫做ctr平滑，通用的方法是在展示数和点击上面各自加一个常数，缓解低投放量带来的不准确性，使其接近其实际的CTR。
1.1点击率的贝叶斯平滑技术
1.1.1理论基础
考虑到经验贝叶斯方法的层次性质，做了两个假设。
假设一，所有的广告有一个自身的ctr，这些ctr服从一个Beta分布。
假设二，对于某一广告，给定展示次数时和它自身的ctr，它的点击次数服从一个伯努利分布 Binomial(I, ctr)。
如果用r表示点击率，I表示展示，C表示点击。这两个假设可以用下面的数学表示。
假设有N个广告，这N个广告个似然函数可以写成下面的形式
由上面的式子可以得到对数似然函数的梯度
其中的是digamma函数，可以查表得到。
优化求解的迭代式如下
停机条件是达到1000次迭代或者α和β都小于1E-10。
当α和β的值都求出来以后（用alpha和beta表示），由ctr的先验分布，可以修正每个广告的ctr，也就是观测到的click/view，这个后验值可以用的公式r=(C + alpha) / (I + alpha + beta)计算。
1.1.2效果
当I较大时，观测到的ctr比较接近真实ctr，这时先验分布的修正对ctr值影响不大（I一般在几百万，alpha一般是几十，beta一般是几万）；当I较小时，alpha和beta在式子中起的作用较大，对ctr有一个明显的修正。
经过贝叶斯平滑的反馈特征上线后，总体ctr有了很大的提升，提升幅度超过50%。
致谢
Yahoo的研究员。
参考文献
[1] Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising.Xuerui Wang, Wei Li, Ying Cui, Ruofei (Bruce) Zhang, Jianchang Mao Yahoo! Labs, Silicon Valley United States