Josephus问题的不同实现方法与总结

  1 /************************************************************************/
  2 /*                   Josephus问题——数组实现                           */
  3 /************************************************************************/
  4 #include <stdio.h>
  5 #include <malloc.h>
  6 
  7 int Josephus(int times, int number, int id){
  8     int *a;
  9     int i, count = 0, t = 0; 
 10     a = (int *)malloc(sizeof(int) * number);
 11 
 12     for(i = 0; i < number; i++)
 13         a[i] = i + 1;             // 数组a用于储存每个元素的编号
 14     i = id - 1;
 15 
 16     while(count < number - 1){
 17         if(a[i] != 0)
 18             t++;
 19         if(t == times){
 20             t = 0; 
 21             count++;
 22             printf("%4d", a[i]);
 23             a[i] = 0;                // 当该元素被剔除时，该数组元素置为0
 24         }
 25         i++;
 26         if(i == number)
 27             i = 0;
 28     }
 29     for(i=0;i<number;i++)
 30         if(a[i]!=0)
 31         {
 32             printf("
最后剩余的结点是:%4d
",a[i]);
 33             return;
 34         }
 35 
 36 }
 37 
 38 int main(){
 39     int times, number, id;
 40     printf("请输入总人数：");
 41     scanf("%d", &number);
 42     printf("请输入报数周期:");
 43     scanf("%d", &times);
 44     printf("请输入开始报数的编号：");
 45     scanf("%d", &id);
 46     Josephus(times, number, id);
 47 
 48     return 0;
 49 }
 50 
 51 /************************************************************************/
 52 /* 总结：
 53         优点为可以得出每次被剔除的元素编号
 54         缺点为内存空间占用较大，没有数学归纳法快速                        */
 55 /************************************************************************/
 56 
 57 
 58 /************************************************************************/
 59 /*                   Josephus问题——循环链表实现                       */
 60 /************************************************************************/
 61 #include <stdio.h>
 62 #include <malloc.h>
 63 
 64 typedef struct LNode
 65 {
 66     int data;
 67     struct LNode *next;
 68 }LNode,*Linkhead;
 69 void Josephus(int m,int n,int k)
 70 {
 71     Linkhead p,r,head = NULL;
 72     int i;
 73     for(i = 1;i <= n;i++)
 74     {
 75         p = (Linkhead)malloc(sizeof(LNode));//申请一个新的链结点
 76         p->data = i;//存放第i个结点的编号
 77         if(head == NULL)
 78             head = p;
 79         else
 80             r->next = p;      // 因为Insert和Del操作都需要之前一个节点的地址，故用r来存储。其作用类似栈的top
 81         r = p;
 82     }
 83     p->next = head;//至此，建立一个循环链表
 84 
 85     p = head;
 86     for(i = 1;i < k;i++)
 87     {
 88         r=p;
 89         /*请注意，此行不是多余的，因为当k!=1,但m=1时如果没有这条语句，此时删除动作无法完成*/
 90         p=p->next;
 91     }        //此时p指向第1个出发结点
 92 
 93     while(p->next != p)
 94     {
 95         for(i = 1;i < m;i++)
 96         {
 97             r = p;
 98             p = p->next;
 99         }                        //p指向第m个结点,r指向第m-1个结点
100         r->next = p->next;        //删除第m个结点
101         printf("%4d",p->data);    //依次输出删除结点的编号
102         free(p);                //释放被删除结点的空间
103         p = r->next;            //p指向新的出发结点
104     }
105     printf("
最后剩余的结点是:%4d
",p->data);//输出最后一个结点的编号
106 }
107 
108 int main(){
109     int times, number, id;
110     printf("请输入总人数：");
111     scanf("%d", &number);
112     printf("请输入报数周期:");
113     scanf("%d", &times);
114     printf("请输入开始报数的编号：");
115     scanf("%d", &id);
116     Josephus(times, number, id);
117 
118     return 0;
119 }
120 
121 /************************************************************************/
122 /* 总结：
123         优点为可以得出每次被剔除的元素编号
124         缺点为相较数组方法需要更多的计算量
125         总体而言与数组方法相差无几                                        */
126 /************************************************************************/
127 
128 /************************************************************************/
129 /*             Josephus问题——数学归纳法直接计算                       */
130 /************************************************************************/
131 #include <stdio.h>
132 int main() {  
133     int answer = 0;  
134     int times, number, i, id;    // number为环内总元素个数，times为报数周期， id为从第几个元素开始报数
135     printf("请分别输入总人数和循环次数：");
136     scanf("%d %d", &number, &times);
137     printf("起始报号者的编号：");
138     scanf("%d", &id);
139     for(i = 1; i <= number; i++) {  
140         answer = (answer + times) % i;      // 核心算法，利用数学归纳法得出
141     }
142     if(answer + id == number)
143         printf("Survial: %d
", number);    // 防止当幸存者为最后一个编号时输出0的情况
144     else
145         printf("Survival: %d
",(answer + id) % number);  
146         // 这边利用number对answer进行取余操作以防止编号数值超过最大编号（溢出）
147     
148     return 0;
149 }  

                                           
对于Josephus问题有两个地方是可以进行优化的。 (总人数为N，编号为从0~N-1；经过M次报数去除一个成员，剩余成员个数为numleft， 记M%numleft为mPrime)

　1、被移除的成员离上一个成员之间的距离是M%numleft-1（报数次为M%numleft）.当M大于N时，该计算方式将节省大量时间
 2、当mPrime大于numleft的时候可以反向遍历该表来查找要去除的成员。这样可以节省时间。同样这也就要求了该表必须是一个双向表才行。（即含有Previous方法）
 　该算法实现原理即为：

　　第一轮，必定为编号M%N-1的成员被去除，第二轮为在第一轮的基础上即从编号为M%N的成员开始正移mPrime-1个单位（或者反移numleft-mPrime-1个单位）。若将M%N即为编号0，开始重新编号，那么第二轮被删除的成员编号便是M%（numleft）-1，由此可得该轮要被删除的成员与上一轮去除成员之间的距离为M%numleft，这里可利用迭代器来实现。

  这里我们便可以得到成员编号与该轮成员数目的关系是：（n表示该轮所剩余的成员数目，Index（n）表示该轮成员的编号（从0开始））
   Index(n) = (Index(n - 1) + m) % n。
    那么按照这个过程，我们这样一直移除元素下去，肯定能够找到最后一个被移除的元素。
    这个元素则对应只有一个元素的环，很显然，它的值为0。也就是Index(1) = 0。
    对于这个元素的索引，它对应两个元素的索引是多少呢？
   按照前面的过程，我们倒推回去就是了。Index(2) = (Index(1) + m) % 2。
   那么对应3个，4个元素的呢？我们这样一路继续下去就可以找到对应到n个元素的索引了。
    所以，我们发现了一个有意思的数学归纳关系：
    f(1) = 0,  f(n) = (f(n - 1) + m) % n。
    按照这个关系，我们可以得到最后一个被取出来的元素对应到n个元素的环里的索引值。 

至此，我们可以发现，利用count计数从而删除成员的方法与此相比起来逊色不少，故之后我们将采用此方法来解决问题。