题解 P1985 【[USACO07OPEN]翻转棋】

农夫约翰知道，聪明的奶牛可以产更多的牛奶。他为奶牛设计了一种智力游戏，名叫翻转棋。

翻转棋可以分成 M × N 个格子，每个格子有两种颜色，一面是黑的，一面是白的。

一旦翻转某个格子，这个格子的颜色就会颠倒。如果把所有的格子都翻成白的，就算奶牛赢了。然而，奶牛的蹄子很大，一旦它们打算翻转某个格子，这个格子附近（即和这个格子有公共边）的格子也会被翻转。一直翻来翻去也很无聊，奶牛们想最小化必须翻动的次数。

请帮助奶牛确定翻动的最少次数和具体的翻法。如果最小解有多个，则输出在字典序意义下最小的那个，如果不可能完成任务，则只要输出一行单词：IMPOSSIBLE。

讲讲我的做法

刚开始做这道题的时候，看到$n<=15$，我这个$6$年级的蒟蒻的第1反应是状压$dp$。貌似不好做。然而，等到我在省中集训的时候，老师的一席话，让我豁然开朗。今天我准备来分享一下。

老师的话是：除了第1行，其他格子要不要翻是由上一行决定的。

听到这里，我想应该跟那时的我一样——豁然开朗了。

用$dfs$或用2进制来枚举第1行要不要翻（推荐用$dfs$，不容易$WA$，并且时间充裕的很），然后去模拟后面的格子，最后再看最后一行是否全好了。（$dfs$注意要字典序）

我们先来看看dfs该怎么写

$code$：

void dfs(int x){
	if(x==m+1){
		check();//判断是否成立
		return;//不要再做下去了，已经是终点了
	}
	f[x]=0;//先试0的情况
	dfs(x+1);//递归下去
	f[x]=1;//再试1的情况
	dfs(x+1);//递归下去
}

我也放一下二进制的代码吧

for(int i=0;i<(1<<m);i++){
	for(int j=0;j<m;j++)f[j+1]=(i>>j)&1;
	check();
}

大家发现我这个$check$竟然没有用$bool$，显然是因为$check$如果判断成功，就直接$exit(0);$

再给大家看一看$check$函数的实现过程

void work(int x,int y){
	c[x][y]=1-c[x][y];
	c[x-1][y]=1-c[x-1][y];
	c[x+1][y]=1-c[x+1][y];
	c[x][y-1]=1-c[x][y-1];
	c[x][y+1]=1-c[x][y+1];
}//这里为了方便写了个函数来模拟翻格子
void check(){
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			c[i][j]=a[i][j];//初始化
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(f[i]){
			work(1,i);//模拟出第一行的反转情况
			b[1][i]=1;
		}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(c[i-1][j])b[i][j]=1,work(i,j);//跟据老师的那句话，去模拟
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(c[n][i])return;//如果是1直接结束
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++)cout<<b[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}//输出
	exit(0);//结束全部
}

应该没有什么问题

我们来看一看完整的代码吧

$dfs:$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    register int s=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f*=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return s*f;
}//快读
void write(int x){
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int a[25][25],f[25],n,m,b[25][25],c[25][25];
void work(int x,int y){
	c[x][y]=1-c[x][y];
	c[x-1][y]=1-c[x-1][y];
	c[x+1][y]=1-c[x+1][y];
	c[x][y-1]=1-c[x][y-1];
	c[x][y+1]=1-c[x][y+1];
}
void check(){
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			c[i][j]=a[i][j];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(f[i]){
			work(1,i);
			b[1][i]=1;
		}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(c[i-1][j])b[i][j]=1,work(i,j);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(c[n][i])return;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++)cout<<b[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	exit(0);
}
void dfs(int x){
	if(x==m+1){
		check();
		return;
	}
	f[x]=0;
	dfs(x+1);
	f[x]=1;
	dfs(x+1);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=read();//读入
	dfs(1);
	puts("IMPOSSIBLE");
	return 0;
}

二进制：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    register int s=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f*=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return s*f;
}//快读
void write(int x){
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int a[25][25],f[25],n,m,b[25][25],c[25][25];
void work(int x,int y){
	c[x][y]=1-c[x][y];
	c[x-1][y]=1-c[x-1][y];
	c[x+1][y]=1-c[x+1][y];
	c[x][y-1]=1-c[x][y-1];
	c[x][y+1]=1-c[x][y+1];
}
void check(){
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			c[i][j]=a[i][j];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(f[i]){
			work(1,i);
			b[1][i]=1;
		}
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(c[i-1][j])b[i][j]=1,work(i,j);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(c[n][i])return;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++)cout<<b[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	exit(0);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=read();//读入
	for(int i=0;i<(1<<m);i++){
		for(int j=0;j<m;j++)f[j+1]=(i>>j)&1;
		check();
	}
    if(ans==INT_MAX)puts("IMPOSSIBLE");
	else{
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++)cout<<d[i][j]<<' ';
			cout<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

后记

衷心感谢 @龙·海流 大佬帮我指出了一个致命的错误

这是我原来的代码

注意题目中说的是翻转次数少的优先，如果一样，再按照字典序排列。 我自己不认真读题，还去怪数据错误，还特判了数据。

衷心感谢省中集训的那位老师让我AC了一道蓝题。。

如果我的这篇题解对你有所帮助请点个赞，谢谢。。

有任何问题，请评论或私信我这个$6$年级的蒟蒻，谢谢。