1. 设 $A$ 为非可数的实数集合. 证明: 存在整数 $n$ 使得 $Acap [n,n+1]$ 为可数集. ($15'$)
证明: 用反证法. 若 $$ex Acap [n,n+1]mbox{ 可数,}quad forall ninbZ. eex$$ 则 $Acap [n,n+1)$ 也可数. 据 $$ex A=cup_{n=-infty}^infty (Acap [n,n+1)) eex$$ 即知 $A$ 可数, 这是一个矛盾. 故有结论.
2. 设 $sed{I_al}_{alin A}$ 为一族长度大余零的区间. 证明: $dps{E=cup_{alin A}I_al}$ 可测.
证明: 由题意, $I_al$ 为区间, 而 $dps{E=cup_{alin A}I_al}$ 为开集, 按照 $bR$ 中开集的构造, $E$ 是至多可数个互不相交的开区间 $J_i$ 的并. 区间 $J_i$ 可测, 而 $E$ 可测.
3. 设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数. 证明: 对任意整数 $p$, 函数 $|f|^p$ 也是 $E$ 的可测函数.
证明: $$ex forall cin bR, E[|f|^pgeq c]=sedd{a{ll} E,&cleq 0\ E[f<-c^frac{1}{p}]cup E[f>c^frac{1}{p}],&c>0 ea}. eex$$
4. 设 $f(x)$ 是 $(0,1)$ 上的 Lebesgue 可积函数, 求极限 $$ex vlm{n}int_0^1 frac{1}{1+e^{nf(x)}} d x.hfillquad (15') eex$$
解答: 由 $$ex frac{1}{1+e^{nf(x)}}leq 1 eex$$ 及有界控制收敛定理, $$eex ea vlm{n}int_0^1 frac{1}{1+e^{nf(x)}} d x &=int_0^1 vlm{n}frac{1}{1+e^{nf(x)}} d x\ &=int_{sed{xin (0,1);f(x)<0}} 1 d x +int_{sed{xin (0,1);f(x)=0}} frac{1}{2} d x +int_{sed{xin (0,1);f(x)>0}}0 d x\ &=msed{xin (0,1);f(x)<0}| +frac{1}{2}msed{xin (0,1);f(x)=0}. eea eeex$$
5 设 $f_n,f,g$ 是可测集 $E$ 上的可测函数, 如果在 $E$ 上 $$ex f_nstackrel{m}{ ightarrow} f,quad f_nstackrel{m}{ ightarrow} g. eex$$ 试证: $f=g,ae xin E$. ($15'$)
证明: 对 $forall min bN$, 由 $$eex ea |f(x)-g(x)|geq frac{1}{m} & a |f_n(x)-f(x)|+|f_n(x)-g(x)|geq frac{1}{m}\ & a |f_n(x)-f(x)|geq frac{1}{2m}mbox{ 或 } |f_n(x)-g(x)|geq frac{1}{2m} eea eeex$$ 知 $$ex Esez{|f-g|geq frac{1}{m}} subset Esez{|f_n-f|geq frac{1}{2m}} cup Esez{|f_n-g|geq frac{1}{2m}}, eex$$ 而 $$ex mEsez{|f-g|geq frac{1}{m}} leq mEsez{|f_n-f|geq frac{1}{2m}} +mEsez{|f_n-g|geq frac{1}{2m}}. eex$$ 令 $m oinfty$, 利用 $$ex f_nstackrel{m}{ ightarrow} f,quad f_nstackrel{m}{ ightarrow} g. eex$$ 即知 $$ex mEsez{|f-g|geq frac{1}{m}}=0, eex$$ $$eex ea mE[|f-g| eq 0]&=msex{cup_{m=1}^infty Esez{|f-g|geqfrac{1}{m}}}\ &leq vsm{n}m Esez{|f-g|geq frac{1}{m}}\ &=0. eea eeex$$ 这即说明 $f=g,ae xin E$.
6. 设 $f$ 于 $(0,infty)$ 上连续且 Lebesgue 可积, 证明: 广义 Riemann 积分 $dps{int_0^infty f(x) d x}$ 收敛. ($15'$)
证明: $$eex ea int_{(0,infty)}|f(x)| d x &=int_{(0,infty)} vlm{n}chi_{(0,n)}(x)|f(x)| d x\ &=vlm{n}int_{(0,infty)} chi_{(0,n)}(x)|f(x)| d xquadsex{Levi}\ &=vlm{n}int_{(0,n)}|f(x)| d x. eea eeex$$ 此即 $$ex vlm{n}int_{(n,infty)}|f(x)| d x=0. eex$$ 而有 $forall ve>0, exists NinbN,st$ $$eex ea ngeq N& a int_{(n,infty)}|f(x)| d x<ve\ & a sev{int_{A_1}^{A_2}f(x) d x} leq int_{A_1}^{A_2}|f(x)| d x =int_{[A_1,A_2]}|f(x)| d x leq int_N^infty |f(x)| d x<ve\ &quadsex{forall A_2>A_1>N}. eea eeex$$ 据 Cauchy 收敛准则, 广义 Riemann 积分 $dps{int_0^infty f(x) d x}$ 收敛.
7. 设 $f$ 于 $[a,b]$ 可积且对任意区间 $Isubset [a,b]$ 有 $$ex int_If d mgeq |I|. eex$$ 证明: $$ex |f(x)geq 1,ae xin [a,b].quad(10') eex$$
证明: 对 $forall xin (a,b)$, 定义 $$ex f_n(x)=frac{1}{2/n}int_{-frac{1}{n}}^frac{1}{n}f(y) d m, eex$$ 则由题意, $$ex f_n(x)geq 1,quad forall n>frac{1}{minsed{x-a,b-x}}. eex$$ 又由 $$eex ea int_a^b |f_n(x)-f(x)| d x &=int_a^b sev{frac{1}{2/n} int_{x-frac{1}{n}}^{x+frac{1}{n}}f(y) d m-f(x)} d x\ &=int_a^b sev{frac{1}{2/n}int_{x-frac{1}{n}}^{x+frac{1}{n}} [f(y)-f(x)] d y} d x\ &leq frac{n}{2}int_a^b int_{x-frac{1}{n}}^{x+frac{1}{n}} |f(y)-f(x)| d y d x\ &=frac{n}{2}int_a^b int_{-frac{1}{n}}^frac{1}{n} |f(x+s)-f(x)| d s d xquadsex{y=x+s}\ &=frac{n}{2} int_{-frac{1}{n}}^frac{1}{n} int_a^b |f(x+s)-f(x)| d x d s\ & o 0quadsex{n oinfty} eea eeex$$ (最后一步可由 Lusin 定理及该极限对连续函数成立得到) 知 $$ex 1leq vlm{n}f_n(x)=f(x),quad ae xin [a,b]. eex$$
8. 请举出一个在 $[0,1]$ 上有界变差但不是绝对连续的函数 (不要求证明). ($10'$)
解答: 这很简单, 随便一个有间断点的单调函数就是有界变差函数, 但不是绝对连续函数.