定理. $$ex int_0^1frac{ln^2x}{x^x} d x<2int_0^1 frac{ d x}{x^x}. eex$$
证明: 由分部积分及 Fubini 定理, $$eex ea int_0^1 x^mln^nx d x&=frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}},\ int_0^1 frac{ln^2x}{x^x} d x &=int_0^1 e^{-xln x} ln^2x d x =int_0^1sum_{k=0}^infty frac{(-1)^k}{k!} x^kln^{k+2}x d x\ &=sum_{k=0}^infty frac{(-1)^k}{k!}int_0^1 x^kln^{k+2} d x =sum_{k=0}^infty frac{k+2}{(k+1)^{k+2}},\ int_0^1 frac{ d x}{x^x}&=sum_{k=0}^infty frac{1}{(k+1)^{k+1}},\ k+2&<2(k+1), (k>0). eea eeex$$ 而有结论成立.
2015年7月5号
张祖锦 赣南师范学院数学与计算机科学学院 邮箱: zhangzujin361@163.com