判断下列命题是否正确, 正确的给予证明, 错误的举出反例.
(1). $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 则 $f$ 有原函数.
(2). $f$ 有原函数, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.
解答:
(1). 错误. 比如 $[0,1]$ 上的 Riemann 函数 $R(x)$, 其是 Riemann 可积的, 但由 $$ex F(x)=int_0^x R(t) d t=0 a F'(x)=0 eq R(x),quad xinbQ eex$$ 知 $R(x)$ 没有原函数.
(2). 错误. 比如 $$ex f(x)=sedd{a{ll} x^2sincfrac{1}{x^2},&x eq 0\ 0,&x=0 ea} eex$$ 的导函数 $f'(x)$ 有原函数 $f(x)$, 但是 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的.